Convergencia de$\int_0^{\infty}\sin (p(t))dt$

Question

Utilizando la integración de contorno, para el entero$n\ge 2$, pude obtener el resultado$$\int_0^{\infty}\sin t^n dt=\sin\bigg(\frac{\pi}{2n}\bigg)\Gamma\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg).$$ With the definition $ f (x) = \ int_x ^ {x +1} \ sin (e ^ t) dt$ and substitution $ e ^ ​​t = u$, $$e^xf(x) = \cos e^x-e^{-1}\cos e^{x+1}-e^x\int_{e^x}^{e^{x+1}}\frac{\cos u}{u^2}du.$$Because $ | \ cos u | \ lt 1$, it follows that $ | \ int_ {e ^ x} ^ {e ^ {x +1}} \ frac {\ cos u} {u ^ 2} du | \ lt e ^ {- x} -e ^ {- x-1} $. Usando esto en la igualdad anterior uno tiene$$e^x|f(x)|\le|\cos e^x| + e^{-1}|\cos e^{x+1}|+ e^x|\int_{e^x}^{e^{x+1}}\frac{\cos u}{u^2}du|$ $$$e^x|f(x)|\lt1+e^{-1}+1-e^{-1}$$ $$\implies e^x|f(x)| \lt 2.$$ Since $$\int_0^{\infty}\sin(e^t)dt=\Big[\sum_{k=0}^{N}f(k)\Big]_{N\rightarrow \infty}$$ and the series $ 2 \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} e ^ {- k}$ is a majorant of the series in the RHS of above, it follows that $ \ int_0 ^ {\ infty} \ sin (e ^ t) dt$ is convergent. Now consider an integral of the form $$\int_0^{\infty}\sin(p(t))dt$$ where $ p ( t)$ is a polynomial in $ t$ of degree $ \ ge 2$. It seems likely that such an integral should also converge. My question is does this integral converge, and if it does, then is there a general argument that uses the above facts to show this? Also, what can be said if $ p (t) $ ¿era una función racional sin polos no negativos?

Answer 1

Consideremos el conjunto a $\{t>0: p(t)=k\pi \text{ for some integer } k\}$, que es capaz de ser escrito como un aumento de la secuencia de $\{a_1,a_2,\dots,\}$. Ahora desde $p$ tiene el grado $\geq 2$, la integral de $\sin p(t)$ durante estos intervalos de $[a_n,a_{n+1}]$ se convierte en una secuencia alternante (eventualmente, como el más alto orden término domina), ya que hemos $$ \lim (a_{n+1}-a_n)=0 $$ es decir, las raíces se están convirtiendo en más y más cerca.

Gracias por la idea de la siguiente: ncmathsadist (http://math.stackexchange.com/users/4154/ncmathsadist), Probar que: $\int_{0}^{\infty} \sin (x^2) dx$ converge., URL (versión: 2012-02-03): http://math.stackexchange.com/q/105167