Prueba inductiva de desigualdad

Question

$\textbf{Question:}$ Demuestre mediante inducción que la siguiente desigualdad se cumple para todos los enteros positivos$n$:

$$\dfrac{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)}{1+a_1a_2\cdots a_n}\leq 2^{n-1}, donde$a_1,a_2,\dots ,a_n\geq 1$.

$\textbf{Attempted (Incorrect) Solution:}$ Caso base: $\dfrac{(1+a_1)}{(1+a_1)}=1=2^0=2^{1-1}$. Supongamos que tenemos$\dfrac{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_k)}{1+a_1a_2\cdots a_k}\leq 2^{k-1}$ para un entero positivo$k$. Claramente,$\dfrac{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_k)}{1+a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}}\leq\dfrac{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_k)}{1+a_1a_2\cdots a_k}\leq 2^{k-1}$, entonces$\dfrac{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_k)(1+a_{k+1})}{1+a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}}=\dfrac{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_k)}{1+a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}}+\dfrac{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_k)a_{k+1}}{1+a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}}\leq 2^{k-1}+\dfrac{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_k)a_{k+1}}{1+a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}}\leq 2^{k-1}+ \dfrac{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_k)a_{k+1}}{a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}}\leq 2^{k-1}+ \dfrac{2^k(a_1a_2\cdots a_k)a_{k+1}}{a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}}=2^{k-1}+2^k=3\cdot2^{k-1}\not\leq 2^k.$

He intentado un par de enfoques diferentes, pero ninguno de ellos se ha solucionado. Siento que me podría estar perdiendo algún truco o idea clave. Cualquier sugerencia / sugerencia sería muy apreciada. ¡Gracias!

Answer 1

Insinuación:

Con $b_k = a_k a_{k+1} \ge 1, \quad c_k = a_k + a_{k+1}-1 \ge 1$,

$(1+a_k)(1+a_{k+1}) = 1+(c_k+1) + b_k \le (1 + b_k) + (1 + b_k c_k)$
y$b_kc_k \ge b_k = a_k a_{k+1}$

Así que divide el LHS del paso inductivo en dos sumas ...