Ecuaciones de las rectas tangentes a una elipse

Question

Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse $\displaystyle{\frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{4}y^2 = 1}$ y pasar por $(4,6)$ .

Sé que una tangente debería ser $x = 4$ porque pasa por $(4,6)$ y es tangente a la elipse pero no sé cómo encontrar las otras tangentes. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Se necesita una línea que pase por el punto $(4,6)$ y que toca la elipse en un solo punto. La línea vertical lo hace y ya la has encontrado. Obviamente, hay exactamente otra línea tangente (y si eso no te resulta obvio, ¡haz el dibujo y míralo!).

Líneas no verticales que pasan por el punto $(4,6)$ tienen la ecuación $y-6=m(x-4)$ .

Eso implica $y=mx-4m+6$ , por lo que podemos poner $mx-4m+6$ en lugar de $y$ :

$$ \frac{x^2}{16} + \frac{(mx-4m+6)^2}{4} = 1. $$ Esto equivale a $$ \underbrace{(1+4m)}x^2 + \underbrace{-8m(4m-6)}\ x + \underbrace{4(4m-6)^2 -16} = 0. $$

Esta ecuación es cuadrática en $x$ . Por lo tanto, queremos una ecuación cuadrática con exactamente una solución. Una ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ tiene exactamente una solución precisamente si su discriminante $b^2-4ac$ es $0$ . Así que tenemos $$ b^2-4ac = \underbrace{64m^2(4m-6)^2 - 4(1+4m)(4(4m-6)^2-16) = 0}. $$ Ahora sólo tenemos que resolver esta última ecuación para $m$ .

Answer 2

Prueba a cambiar las variables, transf lineal, x=4X, y=2Y. Esto convierte la elipse en el círculo unitario, y (4,6) pasa a (1,3). Ahora dibújala y utiliza la trigonometría elemental para obtener la pendiente y la ecuación, en X e Y. Vuelve a convertir a x e y.

Answer 3

Tenemos que $x^2+4y^2=16$ por lo que utilizando la diferenciación implícita se obtiene $2x+8yy^{\prime}=0$ y por lo tanto $\;\;\;\displaystyle y ^{\prime}=-\frac{x}{4y}$ .

Dado que la pendiente de la línea entre $(x,y)$ y $(4,6)$ viene dada por $\frac{y-6}{x-4}$ , tienes que $\displaystyle -\frac{x}{4y}=\frac{y-6}{x-4}$ .

Esto da $-x^2+4x=4y^2-24y$ , por lo que ahora se puede utilizar esta ecuación y la ecuación $x^2+4y^2=16$ para encontrar el otro punto de tangencia.

Answer 4

La ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto $(x_0,y_0)$ es $y-y_0=m(x-x_0)$ donde $m$ es la pendiente de la tangente. Ésta viene dada por $m=\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}.$ (Tenga en cuenta que en $x=\pm 4$ esto no funciona, porque en esos puntos la tangente viene dada por $x=\pm 4.$ ) Tomando las derivadas obtenemos $\frac{x_0}{8}+\frac{y_0}{2}\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}=0,$ es decir, $\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}=-\frac{x_0}{4y_0}.$ Por tanto, la ecuación de la recta tangente es

$$y-y_0=-\frac{x_0}{4y_0}(x-x_0).$$

Si suponemos que el punto $(4,6)$ pertenece a esta línea entonces

$$6-y_0=-\frac{x_0}{4y_0}(4-x_0) \implies 24y_0-4y^2_0=x^2_0-4x_0. $$ Desde $(x_0,y_0)$ pertenece a la elipse, tenemos que resolver el sistema

$$\left\{\begin{array}{rcl} \displaystyle x_0^2+4y^2_0 & = & 16\\ x_0^2+4y_0^2-4x_0-24y_0&=&0\end{array}\right.$$ Este sistema tiene dos soluciones. Una solución es $(4,0)$ y sabemos que la tangente en este punto pasa por $(4,6).$ La otra solución es $\left(-\frac{16}{5},\frac{6}{5}\right).$ Así que este es el otro punto que satisface la condición dada.

Answer 5

Usa la ecuación paramétrica de la tangente a la elipse xcosø/a + ysinø/b =1 Como esto satisface (4,6) pon x e y como 4 y 6 y obtienes una ecuación trigonométrica. Si elevamos al cuadrado ambos lados y ponemos sin^2ø como 1-cos^2ø obtenemos dos valores de cos ø. Encuentra los valores correspondientes de sinø y sustitúyelos en la ecuación original de la tangente.

Espero que sea de ayuda. ¡Salud!