Un entero positivo$n$ se multiplica por$7$. El producto resultante contiene solo un dígito repetido varias veces, y ese dígito no es$7$. ¿Cuál es la menor cantidad de dígitos en$n$?
Solo puedo pensar en resolver esta pregunta por la fuerza bruta. ¿Hay una mejor manera?
Lo sabemos $7n = \underbrace{dd\ldots dd}_{k \ \text{digits}}$. Por lo tanto,$7n \cdot \dfrac{9}{d} = \underbrace{99\ldots 99}_{k \ \text{digits}} = 10^k-1$.
Como$d$ no es$7$, usted sabe que$7n \cdot \dfrac{9}{d} = 10^k-1$ debe ser divisible por$7$.
¿Puedes determinar el entero positivo más pequeño$k$ de forma que$10^k-1$ sea divisible por$7$? Una vez que haga esto, resultará sencillo generar un valor para$d$ y$n$.
Una vez que compruebe que el más pequeño, como$k$ es$6$, entonces tiene$7n = dddddd = d \cdot 111111$. Para minimizar$n$, elija$d = 1$, lo que da$n = 15873$.
Supongamos que$7\times n = aa\dots a = a\times \underbrace{11\dots 1}_{k \mbox{ times}} = a \times \frac{10^k-1}{9}$.
Como$a \neq 7$, entonces debemos encontrar$k$ de modo que$10^k-1$ se divida por 7. Según el pequeño teorema de Fermat , tenemos$10^6-1$ dividido por 7. Som el mínimo de k es menor que 6. Por lo tanto, tenemos el menor número de$n$ es 5 (111111/7 = 15873).
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