Mostrar (a través de diferenciación)$1-2+3-4+\cdots+(-1)^{n-1}n$ es$-\frac{n}{2}$ para$n$ even,$\frac{(n+1)}{2}$ para$n$ impar.

Question

i) considerando $(1+x+x^2+\cdots+x^n)(1-x)$ muestran que, si $x\neq 1$, $$1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{(1-x^{n+1})}{1-x}$$

ii) Mediante la diferenciación de ambos lados y establecimiento $x=-1$ muestran que $$1-2+3-4+\cdots+(-1)^{n-1}n$$

toma el valor de $-\frac{n}{2}$ si n es par y el valor de $\frac{(n+1)}{2}$ si n es impar.

Para la parte i) acabo simplificado de la LHS, dividido por $(1-x)$ y consiguió el resultado deseado.

Para la siguiente parte he encontrado la derivada de ambos lados, y establecer $x=-1$ me da:

$$1-2+3-4+\cdots+(-1)^{n-1}n = \frac{(2)(-1(n+1)(-1)^n)-(1-x^{n+1})(-1)}{4} = \frac{-2(n+1)(-1)^n+1+(-1)^{n+2}}{4}$$

Sin embargo, yo no estoy en la comprensión de la parte sobre la que n es par e impar. Si n es par, esto no significa que $n = 2n$ y si es impar, $n = 2n+1/2n-1$? Cuál sería el próximo paso?

Gracias

Answer 1

Si$n$ es par,$n = 2k$ para un entero entero$k$. Entonces y $(-1)^n = (-1)^{2k} = ((-1)^2)^k = 1^k = 1$. Por lo tanto, tenemos

\begin{align*} \frac{-2(n+1)(-1)^n + 1 +(-1)^{n+2}}{4} &= \frac{-2(n+1)\times 1 + 1 + 1}{4}\\ &= \frac{-2(n+1) + 2}{4}\\ &= \frac{-2n -2 + 2}{4}\\ &= \frac{-2n}{4}\\ &= -\frac{n}{2}. \end{align*}

¿Puedes seguir los pasos para hacer el caso extraño?