¿Puede un distribuidor no compacto tener una cohomología dimensional infinita?

Question

Para variedades compactas, Hodge Theory nos dice que la cohomología (de Rham) es de dimensión finita. ¿Qué hay de los colectores no compactos? Es decir:

¿Pueden los colectores no compactos tener una cohomología dimensional infinita?

Si la respuesta es sí, ¿hay algún ejemplo para el cual esto sea fácil de ver?

Answer 1

El colector (no compacto)$\mathbb R^2\setminus \mathbb Z^2$ debe tener infinita primera homología y cohomología.

Answer 2

Seguro. He aquí dos ejemplos:

1. Deje $M$ ser la línea real con todo entero puntos eliminado. A continuación, $M$ es distinto de la unión de countably muchas de intervalos, y $H^0 (M, \mathbb{R})$ es un espacio vectorial real de uncountably dimensión infinita. (Para ser precisos, es el doble de la real espacio vectorial de countably dimensión infinita.)

2. Deje $M$ ser el avión real con el conjunto de $\{ (n, 0) : n \in \mathbb{Z} \}$ eliminado. No es demasiado difícil ver que $M$ es homotopy-equivalente a una cadena de countably muchos círculos se unió a side-by-side. De ello se desprende que $H^1 (M, \mathbb{R})$ es un espacio vectorial real de uncountably dimensión infinita – podemos inventar formas diferenciales con un recetados de la singularidad en cada agujero de forma independiente, y su cohomology clases son distintos porque pueden ser distinguidos por la integración a lo largo de un bucle alrededor de la pertinente singularidades.