Cuando exponencial de una matriz es diagonal?

Question

Permita que$A$ sea una matriz real$n \times n$. Supongamos que$e^A$ es una matriz diagonal. ¿Esto implica que$A$ es diagonal?

Si no, ¿para qué matrices, su exponencial es diagonal? ¿Podemos obtener una buena caracterización?

(El caso complejo también podría ser interesante)

Answer 1

Si $e^A$ es diagonal, entonces $A$ no es necesariamente diagonal.

Tome $A=\begin{pmatrix}0&\pi\\-\pi&0\end{pmatrix}$. A continuación,$e^A=-I_2$.

EDIT. Anwer a Asaf. Suponga que $e^A=diag(\lambda_i)$ cuando la $(\lambda_i)$ son no-cero distintas; desde $A$ $e^A$ viaje, $A$ es diagonal, entonces necesariamente $e^A$ admite al menos un autovalor doble. Por otra parte, se puede demostrar que si $e^A$ es diagonalizable, entonces $A$ también es diagonalizable.

Por lo tanto, cuando $n=2$, $e^A=\lambda I_2$ con $\lambda\not= 0$; por lo tanto $spectrum(A)=\{u,v\}$ donde$u\not= v$$e^u=e^v=\lambda$, lo que implica $v=u+2ki\pi$$k\in \mathbb{Z}^*$.