Tome dos variables aleatorias$X,Y$ y suponga que$X$ se distribuye uniformemente en$[0,1]$ condicional en$Y$. ¿Esto implica que$X$ es independiente de$Y$? ¿Podrías dar un ejemplo?
Respuestas
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La independencia significaría que conocer el valor de $Y$ no da ninguna información sobre el valor de $X$.
Así que aquí $X$ será independiente de $Y$ si $X$ tiene una uniforme distribución marginal en $[0,1]$, y la distribución condicional $X|Y$ es uniforme en $[0,1]$ independiente del valor de $Y$.
Un ejemplo de ser un uniforme (conjunta) de distribución en la unidad de la plaza.
Aquí están algunos ejemplos de utilización de Tetris de bloques:
Para la "S" del bloque
tenemos $p[X|Y=\text{middle}]=p[X]=\text{uniform}$, pero $X$ es, ciertamente, no es independiente de $Y$.
Mientras que para la "O" bloque de
tenemos $p[X|Y]=p[X]=\text{uniform}$, lo $X$ es independiente de $Y$.
Dilip Sarwate
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Si el condicional pdf de $X$ $Y$ es la misma función de densidad para todos los valores de $Y$ (en el apoyo de $f_Y(y)$), es decir, $f_{X\mid Y}(x\mid y)$ es igual a $g(x)$, donde el valor de $g$ no depende de $y$, entonces $$f_X(x) = \int f_{X,Y}(x,y) \mathrm dy = \int f_{X\mid Y}(x\mid y)\cdot f_Y(y)\mathrm dy = g(x)\int f_Y(y)\mathrm dy = g(x),$$ that is, the unconditional pdf of $X$ es el mismo que el común condicional pdf de $X$$Y$. En particular, la uniformidad no tiene nada que ver con él en todo: lo que necesitamos es que siempre es la misma función de densidad independientemente del valor de $y$.
Supongamos que $f_{X,Y}(x,y)$ valor $1$ (en el interior) de la unidad de la plaza. A continuación, $f_{X\mid Y}(x\mid y) \sim U(0,1)$ $X$ $Y$ son tanto independiente $U(0,1)$ variables aleatorias.
Supongamos que $f_{X,Y}(x,y)$ valor $2y$ (en el interior) de la unidad de la plaza. A continuación,$f_{X\mid Y}(x\mid y) \sim U(0,1)$, e $X \sim U(0,1)$ también. Tenga en cuenta que $X$ $Y$ son independientes de las variables aleatorias sino $Y$ no $U(0,1)$ variable aleatoria.
Supongamos que $f_{X,Y}(x,y)$ valor $2x$ (en el interior) de la unidad de la plaza. A continuación, $f_{X\mid Y}(x\mid y) = 2x\mathbf 1_{\{x\colon x \in (0,1)\}}$ y el incondicional de la densidad de $X$ es de la misma densidad. $X$ $Y$ son independientes de las variables aleatorias sino $X$ no $U(0,1)$ variable aleatoria. La distribución uniforme de la $X$ no es necesario: ¿qué se necesita es que los $f_{X\mid Y}(x\mid y)$ es el mismo para todas las opciones de $y$.
