¿Es el grupo de Galois finito un producto semidirecto del grupo de inercia y el grupo de Galois de residuos?

Question

Sea $K/\mathbb{Q}_p$ una extensión finita y $L/K$ una extensión finita de Galois. Tenemos una secuencia exacta corta $$1 \rightarrow I_{L/K}\rightarrow \mathrm{Gal}(L/K) \rightarrow \mathrm{Gal}(k_L/k_K) \rightarrow 1$$

Me preguntaba cuáles de estas extensiones tienen la propiedad de que $\mathrm{Gal}(L/K)$ sea un producto semidirecto de $I_{L/K}$ y $\mathrm{Gal}(k_L/k_K)$. Por ejemplo, sabemos que si $e=|I_{L/K}|$ y $f=[k_L:k_K]$ son primos entre sí, entonces $G$ es un producto semidirecto, por el teorema de Schur-Zassenhaus.

¿Alguien conoce alguna referencia en la que se discuta esta pregunta en detalle?

Gracias,

Yoël.

Answer 1

Debido al teorema de Schur-Zassenhaus que mencionaste, las extensiones no divididas $L/K$ deben buscarse en la categoría de $p$-extensiones (es decir, $G$ es un $p$-grupo). Utilizando CFT local y la estructura conocida del grupo de Galois de la extensión pro-$p$-abeliana maximal de $K$, no es difícil encontrar extensiones cíclicas $p$-ramificadas $L/K$ que no sean totalmente ramificadas. Si buscas familias sistemáticas de tales extensiones, mira por ejemplo §6 del trabajo de Luca Caputo "Una clasificación de las extensiones de grado $p^2$ sobre $\mathbf Q_p$ ...", Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 19 (2007), 337–355, https://www.emis.de/journals/JTNB/2007-2/article02.pdf, donde se muestra que hay exactamente ($ p-1$) extensiones cíclicas de $\mathbf Q_p$ de grado $ p^2$ e índice de ramificación $p$.

Answer 2

Si vamos al cierre algebraico, obtenemos una secuencia exacta corta (como arriba) $$1 \rightarrow I_K \rightarrow Gal(\overline{K}/K) \rightarrow \hat{\mathbb{Z}} \rightarrow 1,$$ y la preimagen de $\mathbb{Z}$ se llama el grupo de Weil $\mathcal{W}(\overline{K}/K)$; es decir, $$1 \rightarrow I_K \rightarrow \mathcal{W}(\overline{K}/K) \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow 1$$ es exacta.

Ahora el grupo de Weil es denso en $Gal(\overline{K}/K)$, así que para una extensión finita de Galois $L/K$ tenemos $\mathcal{W}(L/K) = Gal(L/K)$ así que no hay problema en responder la pregunta aquí.

Por construcción, el grupo de Weil es un producto semidirecto del grupo de inercia y un elemento de Frobenius, por lo tanto, lo es tu grupo de Galois.

No estoy seguro de una referencia para todo esto, pero para grupos de Weil podrías intentar buscar en el Fondo Teórico de Números de Tate.