prueba de la regla de la cadena para el cálculo

Question

Yo estaba comparando mi intento de demostrar la regla de la cadena, por mi propia y la prueba dada en el libro de Spivak, pero que parece ser bastante diferentes. Por favor, dime si estoy mal o si me falta algo. Realmente agradezco cualquier comentario. Muchas gracias.

Teorema:

Deje $I$ $J$ ser abierto intervalos en $\mathbb{R}$. Deje $a\in I$ y deje $f:I\longrightarrow J$ $g:J\longrightarrow \mathbb{R}$ funciones. Supongamos que $f$ es diferenciable en a$a$, $g$ es diferenciable en a $f(a)$. A continuación, $g\circ f$ es diferenciable en a $a$ $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a)$

Idea y observaciones: queríamos encontrar $\lim_{h\to 0}\frac{(g\circ f)(a+h)-g\circ f(a)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{g(f(a+h))-g(f(a))}{h}$, lo que parece ser el mismo que $\lim_{h\to 0}\frac{g(f(a+h))-g(f(a))}{f(a+h)-f(a)}\cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=g'(f(a))\cdot f'(a)$. El problema aquí, como Spivak sugiere es que el $f(a+h)$ puede ser es igual a $f(a)$ para algunos valores de $h$ y, a continuación, la división puede no estar definido por dichos valores.

En este caso Spivak define una nueva función de $\phi$ tal que $\phi(h)=\frac{g(f(a+h))-f(a)}{f(a+h)-f(a)}$ si $f(a+h)\neq f(a)$ $f'(g(a))$ lo contrario. A continuación, la prueba de que $\phi$ es continua mediante el uso de $\epsilon - \delta$ definiciones y desde $\frac{(g\circ f)(a+h)-f(a)}{h}=\phi(h)\cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, el resultado de la siguiente manera.

Aquí mi enfoque es un poco diferente, utilizando el hecho de que si $\lim_{x\to a }f=b$ $\lim_{x\to b} g=l$ $\lim_{x\to a}g\circ f=l$ (Esto implica, al mismo tiempo que $f'(a)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\to a}\frac{f(h)-f(a)}{h-a}$).

Prueba:

Desde $f$ es diferentiable en $a$ $f$ es continua en a $a$. A continuación,$\lim_{h\to a}f(h)=f(a)$. Desde $\lim_{h\to 0}(a+h)=a$ a continuación,

$1)$ $\lim_{h\to 0}f(a+h)=f(a)$.

Ahora, por hipótesis,

$2)$ $ \lim_{h\to f(a)}\frac{g(h)-g(f(a))}{h-f(a)}=g'(f(a))$, y

$3)$ $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$

por lo tanto, de $1)$ y $2)$ $\lim_{h\to 0}\frac{g(f(a+h))-g(f(a))}{f(a+h)-f(a)}=g'(f(a))$.

Finalmente, $(g\circ f)'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{g(f(a+h))-g\circ f(a)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{g(f(a+h))-g(f(a))}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{g(f(a+h))-g(f(a))}{f(a+h)-f(a)}\cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=g'(f(a))\cdot f'(a)$.

Answer 1

En el caso de un ejemplo de la ayuda: La función de $\phi:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$ definido por $$\phi(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & \text{if } x \neq 0, \\ 0 & \text{if } x = 0, \end{casos}$$ es diferenciable (en todas partes; $\phi'(0) = 0$ a partir de la diferencia del cociente de la definición), y satisface $\phi(1/n\pi) = 0$ para cada entero distinto de cero $n$. Cualquier prueba de la regla de la cadena debe dar cabida a la existencia de funciones como esta.

Tomando $f = \phi$, e $g$ cualquier función derivable, la ecuación $$\lim_{h \to 0} \frac{g\bigl(f(a+h)\bigr) − g\bigl(f(a)\bigr)}{f(a+h)−f(a)} = g'\bigl(f(a)\bigr)$$ es (técnicamente) falso en $a = 0$ debido a que el cociente en el lado izquierdo está definido por $h = 1/n\pi$. Es decir, en cada vecindario $U$$h = 0$, el cociente de la izquierda no puede ser definido en algún punto de $U$.

(Una función de $f$ que es constante en un barrio de $a$ también se "rompe" la anterior igualdad; la función de $\phi$ anterior muestra que no es suficiente el mero manejar constante de las funciones por separado).

Answer 2

No he leído la prueba de Spivak, pero el punto que menciona es importante. Otro enfoque (Hardy Matemática Pura), es considerar los dos casos:

1) $f'(a) \neq 0$. Esto se asegurará de que $f(a + h) - f(a) \neq 0$ todos los $h$ satisfacción $0 < |h| < \delta$ algunos $\delta > 0$ y, a continuación, la prueba se desarrolla sin ningún problema.

2) $f'(a) = 0$. En este caso se puede tener o no tener $f(a + h) - f(a) = 0$ para los valores de $h$ satisfacción $0 < |h| < \delta$. En el caso de $f(a + h) - f(a) = 0$ podemos ver que $g(f(a + h)) - g(f(a)) = 0$ y, por tanto, el cociente $\dfrac{g(f(a + h)) - g(f(a))}{h} = 0$. Y si $f(a + h) \neq f(a)$ $$\dfrac{g(f(a + h)) - g(f(a))}{h} = \dfrac{g(f(a + h)) - g(f(a))}{f(a + h) - f(a)}\cdot \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$$ and the first factor is bounded (because $\lim_{y \f(a)}\dfrac{g(y) - g(f(a))}{y - f(a)} = g'(f(a))$ exists) and second factor tends to $f'(a) = 0$ so that in any case ratio $\{g(f(a + h) - g(f(a))\}/h \to 0$ as $h \to 0$. Since $g'(f(a))f'(a) = 0$ aquí, de modo que la regla de la cadena se establece en este caso.