Implicación en el$(ε,δ)$ - definición de límite

Question

Todavía estoy confundido por el uso de$\Rightarrow$ en (ε, δ) -definición de límite.
Tomemos por ejemplo la definición de$\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim}f\left(x\right)=l$:

ps

Mis preguntas son:

¿Por qué$$\forall\varepsilon>0,\;\exists\delta>0\quad\mathrm{such\:that\quad}\forall x\in\mathrm{dom}\,f,\;0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\;\Rightarrow\;\left|f\left(x\right)-l\right|<\varepsilon$ no es una condición suficiente para$\left|f\left(x\right)-l\right|<\varepsilon$?

O, dicho de otra manera, ¿no debería ser$0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\;$ también cierto? Si$\left|f\left(x\right)-l\right|<\varepsilon\;\Rightarrow\;0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\;$ se vuelve arbitrariamente cerca de$f\left(x\right)$, ¿no$l$ se vuelve arbitrariamente cercano a$x$?

Answer 1

Cambiar la definición de esa manera significaría que una función constante no puede tener un límite, por ejemplo.

O como un ejemplo menos trivial, considere por ejemplo$\lim\limits_{x\to 1}\frac1x$. Intuitivamente, esto debería ser$1$, pero con su adición a la definición, el límite no existiría. A saber, si elijo$\varepsilon=2$, entonces no puede encontrar ningún$\delta$, de forma que$|\frac1x-1|<2$ solo sea verdadero cuando$|x-x_0|<\delta$.

Answer 2

Ya dio el ejemplo de la función constante (en mi opinión) sería suficiente para disparar la idea en una ardiente de la gloria, pero parábola podría ser más convincente visualmente:

Como podemos ver, $\lim_{x\to -2} x^2 = \lim_{x\to 2} x^2 = 4$, y cuando estamos llegando al límite de $4$ $y$- eje, podría ser que estamos cerca de $2$ o $-2$, pero definitivamente nosotros no puede acercarse a ambos al mismo tiempo.

Answer 3

Puedes pensarlo de esta manera:

primero establece$\epsilon$ y luego tienes que encontrar$\delta$ tal que la desigualdad:

ps

Está satisfecho.

Si puede hacerlo por cada$$\left|f\left(x\right)-l\right|<\varepsilon$, entonces el límite existe.