Encuentra$f(0)$ si$f(f(x))=x^2-x+1$

Question

Dado$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definido como$$f(f(x))=x^2-x+1$$ Find value of $ f (0) $

Supuse $g(x)=f(f(x))$

nosotros dimos

ps

También$$g(x)=(x-1)^2+(x-1)+1$ $

restando ambos obtenemos

ps

No tengo idea de aquí cualquier pista será suficiente

Answer 1

Tenemos ese$$f(f(0))=1$ $ Then$$f(1)=f(f(f(0)))=f(0)^2-f(0)+1$ $ Por otro lado,$$f(f(1))=1$ $ y por lo tanto,$$f(1)=f(f(f(1)))=f(1)^2-f(1)+1$ $ Y así obtenemos ese$f(1)=1$. Entonces$$f(0)^2-f(0)=0$ $ Entonces,$f(0)$ es$0$ o$1$.

Answer 2

$$f(f(x))=x^2-x+1 \implies f(x^2-x+1) = f(x)^2 - f(x) + 1$ $ Tomando$x=0$,$x=1$ da $$ \begin{cases} f(0)^2 = f(1)^2 - f(1) + 1 \\ f(1)^2 = f(0)^2 - f(0) + 1 \end {cases} $$ Resolviendo una solución real da$$f(0)=f(1)=1$ $

Answer 3

Darse cuenta de $0^2-0+1=1^2-1+1=1$. Entonces si$f(0)=f(1)=1$, de hecho tenemos$f(f(0))=1=f(f(1))$.