¿Cómo sé cuándo usar la Ley de la probabilidad total?

Question

Estoy estudiando Probability Theory 1, y hemos aprendido la Ley de probabilidad total y lo hemos probado. Conozco la intuición teórica detrás de esto y sé por qué tiene sentido su demostración. Pero cuando veo un problema nuevo (que lo resolvieron usando este método) no puedo relacionarlo con esta ley.

¿Puede guiarme sobre cómo y cuándo debería usarlo, y qué tipo de problemas se pueden resolver usando este teorema? Me gustaría un ejemplo simple que ilustre su uso.

Answer 1

Supongamos que haces este experimento. Tira un buen par de dados y anota el número que aparece. Luego, lanza una moneda justa esa cantidad de veces. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengas exactamente una cabeza? Debe dividir los resultados de acuerdo con el número que aparece en las pepitas. Este es un buen ejemplo del uso de la ley de las probabilidades totales. A menudo se visualiza usando árboles de probabilidad.

Answer 2

La idea básica detrás de la ley de total probabilidad es que si usted tiene una familia de distintos eventos $\{A_i\}_{i=1}^n$ que cubren todo el espacio muestral, entonces para cualquier evento a $B$ hemos $$P(B)=P(B|A_i)P(A_i)+\cdots+ P(B|A_n)P(A_n) $$ o, si no te gusta probabilidades condicionales $$P(B)=P(B \cap A_1)+ \cdots + P(B \cap A_n). $$

Por ejemplo, supongamos que un cajón contiene uno de 4 caras, dos de 6 caras y una de 8 caras de los dados. Un desconocido morir es elegido al azar, y le han dicho que se rodó un 3. ¿Cuáles son las probabilidades de morir es de 6 caras?

Aquí es una partición de la muestra en el espacio de lo posible dados $$D_4=\text{'die is 4-sided'} \\ D_6=\text{'die is 6-sided'} \\ D_8=\text{'die is 8-sided'}$$

Vamos a definir el evento adicional $$R_3=\text{'die rolled a 3'} $$ se nos pide encontrar $$P(D_6|R_3).$$ Es típico el uso teorema de Bayes en este caso: $$P(D_6|R_3)=\frac{P(R_3|D_6) P(D_6)}{P(R_3)}.$$ Uno ve que $$P(R_3|D_6)=\frac{1}{6},\;P(D_6)=\frac{1}{2}$$ con el fin de encontrar el denominador, podemos utilizar la ley de la total probabilidad: $$ \begin{align} P(R_3)&=P(R_3|D_4)P(D_4)+P(R_3|D_6)P(D_6)+P(R_3|D_8)P(D_8) \\ &=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4}=\frac{17}{96}. \end{align}$$ Con todo, nos encontramos con $$ P(D_6|R_3)=\frac{8}{17},$$ que es más pequeño que la probabilidad anterior $P(D_6)=\frac{1}{2}$.

Nota: es común el uso de la ley de total probabilidad en el fin de evaluar el denominador en el teorema de Bayes.

Answer 3

Los ejemplos dados por los otros chicos que ilustran claramente el uso de la ley. Para decirlo de manera más informal (y tal vez más simple), acaba de comprobar si el principal experimento en el problema, naturalmente, se descompone en una secuencia de sub-experimentos. Generalmente en la escuela primaria ejercicios de probabilidad de textos, no sería de 2 sub-experimentos, uno seguido del otro. Usted tendría que calcular las probabilidades en cada sub-experimento y, a continuación, ponerlos juntos utilizando la Ley de Total de Probabilidad de obtener la respuesta. La probabilidad de que el árbol es un formalmente precisa descripción que puede ser utilizado para un multi-etapa del experimento.