Escaso conjunto de números en la base$2$

Question

Para cada% real$x \in (0,1]$ let$(d_n(x))_{n\ge 1}$ sea su única expansión binaria con infinitamente$1$%, es decir, $$ x = \ sum_ {n \ ge 1} \ frac {d_n (x)} {2 ^ n}. $$

Pregunta. ¿Es cierto que el conjunto $$ \ left \ {x \ in (0,1]: s (x) = \ sum_ {n: \, d_ {2n} (x) = 1} \ frac {1} {n } \ le 1 \ right \} $$ es pobre?

Answer 1

Yo supongo que usted es dotar al espacio de $X=(0,1]$ con la costumbre de la topología de la recta real. Entonces la respuesta es Sí, su conjunto ( $M$ ) es pobre.

Esto es debido a que es un lugar denso conjunto, porque es cerrado y tiene un vacío interior.

Considere la posibilidad de cualquier punto de $x\in M$. Considere la posibilidad de una bola de $B$ radio $\frac{1}{2^{2N}}$$x$. A continuación, $B$ incluye todos los puntos para los cuales el primero $2N$ dígitos binarios partido ṭhose de $x$. En particular, se incluye $y$ cuyos dígitos $d_{2m}$ 1 $N<m\leq P$ donde $P$ es tal que la suma de $\sum_{m=N+1}^P \frac{1}{m} > 1$. Es decir, $y\notin M$. Por lo $M$ no contiene abrir bolas y por lo que su interior está vacío.

Ahora considere el $ x \in U = X\setminus M$. Desde $s(x)>1$, vamos a $g=\frac{1+s(x)}{2}$. A continuación, $g>1$ y podemos encontrar un cierto número natural $N$ tal que $\sum_{n:n\leq N, d_{2n}=1} \frac{1}{n}>g$. Consideremos el conjunto de todos los $y$ cuyos dígitos coinciden con los de $x$ hasta $N$ dígitos. Este conjunto es el balón $B$ radio $\frac{1}{2^{2N}}$ centrada en $x$. Es claro que $\forall y\in B, s(y)>g$ desde el primer $2N$ dígitos de $y$ son los mismos que los de $x$. Es decir, $B \subset U$. Ya que podemos encontrar una apertura de la bola contenida dentro de $U$ todos los $x\in U$, sabemos que $U$ está abierto. En otras palabras, $M$ es cerrado.