Para dos variables aleatorias $X_1 + X_2$ y $\min(X_1,X_2)$ encontrar la distribución conjunta y la covarianza

Question

Deje $X_1,X_2$ ser independiente de las variables aleatorias.

Por otra parte $X_1,X_2$ son discretos uniforme distribuida({$1,...,N$})

Definimos:

$A:= X_1+X_2$

$B:= \min(X_1,X_2)$

Encontrar conjunta de la distribución de $A$ $B$ y calcular la covarianza de $A$$B$.

Realmente no tengo ni idea de cómo encontrar la articulación de distribución de $A$$B$. Así que para esta tarea realmente necesito algo de ayuda. Tal vez usted me puede dar una pista y yo tratamos de resolver a continuación. Me gustaría editar esta pregunta con mi intento hasta encontrar la articulación de distribución.

Edit: Vamos a empezar con la distribución conjunta. $P(A=a,B=b) =P(B=b|A=a)\cdot P(A=a)$.

En las siguientes respuestas vi que: $ P(a=a)=\frac{1}{N^2}\left\{ \begin{array}{lr}a-1& 2\leq a \leq N+1 \\ 2N+1-a & N+2\leq a \leq 2N \end{array} \right. $

Entiendo por qué esta fórmula tiene por $P(A=a)$, pero sólo con el ejemplo. No sé cómo podemos mostrar. Por otra parte, Tenemos que encontrar los $P(B=b|A=a)$. Creo que) es claro ahora. Se intenta editar mi intento en un par de días.

Edición de la segunda parte: voy a escribir $Cov$ de la covarianza. Así que tenemos que calcular el $Cov(A,B)$.

Ya sabemos que: $Cov(A,B) = E(AB) - E(A)E(B) $ (valor esperado)

Todo lo que tenemos que calcular es el valor esperado de $AB,A,B$. Gracias a que el usuario "mathemagical". Ya sé que el valor de $E(A), E(B)$. Puedo incluso entender el resto de la respuesta, excepto cómo podemos calcular el $E(Z)$.

Answer 1

Estoy asumiendo que te refieres a la distribución uniforme discreta que da la probabilidad de $\frac{1}{N}$ a cada punto. Como la distribución conjunta es un poco retorcido, parece más fácil para el cálculo de la covarianza mediante el cálculo de las diferentes piezas de $E(AB)-E(A)E(B)$.

Sugerencias/Esquema: (Para escribir con facilidad, he cambiado de $X_1$$X$$X_2$%#%).

Para la covarianza de $Y$ $A$ En primer lugar, encontrar la distribución y la expectativa de a y B. a Continuación, hacer lo mismo para $B$.

A partir de la independencia, la distribución conjunta de $AB$ es fácil, con la probabilidad asociada con cualquier $(X,Y)$ par dado por $(x,y)$

Calcular $\frac{1}{N^2}$ $E(A)$

Tenga en cuenta que $E(B)$ toma valores de 2 a 2N con probabilidades de la siguiente manera $$P(A=k)=\frac{1}{N^2}\left\{ \begin{array}{lr}k-1& 2\leq k \leq N+1 \\ 2N+1-k & N+2\leq k \leq 2N \end{array} \right.$$ (¿por qué? Los valores tomados por Una para cada X, y Y z cuando N=6 se muestran en la tabla siguiente, donde X e y se muestran en los márgenes) $$\begin{array}{c|cccccc} 6&7&8&9&10&11&12\\ 5&6&7&8&9&10&11\\ 4& 5&6&7&8&9&10\\ 3& 4& 5&6&7&8&9\\ 2&3& 4& 5&6&7&8\\ 1&2&3&4& 5&6&7\\ \hline A&1&2&3&4& 5&6 \end{array}$$

Esto le da (derivar ) $A=X+Y$$ Tenga en cuenta que $$E(A)=N+1$ al $B=X$ $X \le Y$ al$B=Y$, como en el ejemplo de la tabla de abajo para $X\ge Y$. $$\begin{array}{c|cccccc} 6&1&2&3&4&5&6\\ 5&1&2&3&4&5&5\\ 4&1&2&3&4&4&4\\ 3&1&2&3&3&3&3\\ 2&1&2&2&2&2&2\\\ 1&1&1&1&1&1&1\\ \hline B&1&2&3&4& 5&6 \end{array}$$ Para (obtener) $N=6$$$P(B=k)=\frac{2N-2k+1}{N^2}$$ and $$

Calcular $E(B)=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6N^2}$

Tenga en cuenta que $E(AB)$$

$$AB=\left\{ \begin{array}{lr} XY + Y^2& Y\le X\\XY+X^2&Y>X\end{array}\right.$$

Ahora tenga en cuenta que $$AB=XY +\min(X^2,Y^2)=XY+Z$ por la independencia. Ahora puede terminar el cálculo de $E(XY)=E(X)E(Y)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^2$ encontrando $Cov(A,B)=E(XY)+E(Z)-E(A)E(B)$ (puede reciclar la distribución de $E(Z)$ para este: tenga en cuenta que $B$)

Que luego lo lleva a uno a la covarianza de a y B, ya que usted ya tiene $P(Z=k^2)=P(B=k)$.

Para el conjunto de distribución acumulativa de $E(A), E(B)$$A$, el uso de la geometría de las tablas para $B$ $A$ tener en cuenta que hay 3 casos (y algunos meticuloso cálculo de las probabilidades en cada uno de los 3 casos).

$$F(a,b)\equiv P(a\le un, B\le b)=\frac{1}{N^2} \left \{\begin{array}{lr} 2Nb-b^2& a\ge N+b\\ N^2-\frac{(2N-a)(2N-a+1)}{2}&a\le 2b\\ N^2-\frac{(2N-a)(2N-a+1)}{2} - \frac{(a-2b)(a-2b+1)}{2}& \mbox{otherwise} \end{array}\right.$$

Si usted quiere encontrar la función de masa de probabilidad, a continuación, $B$$

Answer 2

Sugerencia

Creo que el progreso más rápido será calcular la distribución conjunta directamente (ya que le piden para de todos modos) y luego usarlo para encontrar la covarianza por la fórmula estándar.

Usted puede conseguir la articulación utilizando combinatoria. Probablemente es la cosa más simple para calcular directamente $$ P(B=b\mid A = a).$$ For instance conditional on $A = 4, $ it is equally likely for $(X,Y) $ to be $(1,3) $ $ (2, 2) $ or $ (3,1) $ so $B$ conditionally has a $1/3$ probability of being $2$ and a $2/3$ probability of being $1.$