Comportamiento de una variedad en cambios de base

Question

Estoy buscando un ejemplo de una irreductible variedad $X$ decir sobre un campo $K$ de manera tal que el cambio de base de a $X_\overline K$ a algebraica de cierre ya no es irreducible, y ha irreductible componentes de diferentes dimensiones.

Por ejemplo, la curva de $x^2+y^2=0$ es irreductible 1 dimensiones (en el sentido de la dimensión de Krull de la coordenada anillo)$\mathbb R$, pero se divide en dos líneas de $(x+iy)(x-iy)=0$$\mathbb C$. Pero en este caso, los componentes son todos de la misma dimensión 1.

En general, ¿cómo salvaje $X$ después del cambio de base? Es wilder si permitimos $X$ a ser un integrante del plan? Hay una teoría para controlarlo? por ejemplo, si imponemos $X$ es afín, proyectiva (esquema), característicos $0$ etc?

EDIT: La pregunta fue resuelto en el caso de variedades, y me he decidido a abandonar el caso de que los sistemas, ya cambio de base local corresponde a tensoring con un anillo arbitrario, de donde ya no es razonable continuar sin añadir muchas más calificadores.

Answer 1

$\newcommand{\pp}{\mathfrak{p}}\newcommand{\mm}{\mathfrak{m}}\newcommand{\qq}{\mathfrak{q}}\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\newcommand{\inv}{^{-1}}\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}$ Respuesta parcial: Para $X$ integral de finito de tipo más de $k$, todos los componentes de $X_{\bar{k}}$ tiene la misma dimensión como $X$.

Primero vamos a considerar el caso en que $X$ es afín e integral de finito de tipo más de $k$ (es decir, una variedad afín). $X=\Spec k[x_1,\ldots,x_n]/\pp$. Ahora claramente tanto en $k[x_1,\ldots,x_n]$ $\bar{k}[x_1,\ldots,x_n]$ ambos $n$-dimensional. Por otra parte, desde la $\bar{k}$ es algebraico sobre $k$, $\bar{k}[x_1,\ldots,x_n]$ es parte integral de la $k[x_1,\ldots,x_n]$. De hecho, el polinomio anillos, ambos son normales dominios. Por lo tanto podemos aplicar el subiendo y bajando teoremas. Tomar una máxima de cadena de primer ideales, uno de cuyos términos es $\pp$. Es un hecho sobre el polinomio de anillos que tal cosa existe, a pesar de que se me olvide donde lo leí (probablemente en Atiyah y MacDonald). Así que tenemos la cadena: $$ \pp_0=0 \subconjunto \pp_1\subconjunto \pp_2\subconjunto \cdots \subconjunto \pp=\pp_k \subconjunto \cdots \pp_n $$ Deje $\qq$ ser cualquier prime se encuentra por encima del $\pp$. A continuación, subiendo y bajando, podemos encontrar $\qq_0,\ldots,\qq_k=\qq,\qq_n$ tal que $\qq_i$ se encuentra sobre $\pp_i$ todos los $i$ y de tal manera que forman una cadena $$ \qq_0 \subconjunto \qq_1\subconjunto \qq_2\subconjunto \cdots \subconjunto \q=\qq_k \subconjunto \cdots \qq_n. $$ Desde $\bar{k}[x_1,\ldots,x_n]$ tiene dimensión $n$, esta cadena es máxima. Así, tanto las variedades $V(\pp)$ $V(\qq)$ tiene dimensiones de la $n-k$. Puesto que los números primos se encuentra por encima del $\pp$ corresponden precisamente a los componentes de $X_{\bar{k}}$, tenemos que los componentes de $X_{\bar{k}}$ todos tienen la misma dimensión.

Ya que cada subconjunto abierto de un irreductible esquema contiene el punto genérico del esquema, podemos elegir una afín a abrir subconjunto $U$, y vamos a tener ese $U_{\bar{k}}=\pi\inv(U)$ si $\pi : X_{\bar{k}}\to X$ es el natural de morfismos. Por lo tanto $U_{\bar{k}}$ contiene el genérico de puntos de todas las componentes irreducibles de de $X_{\bar{k}}$, ya que todos ellos mapa genérico punto de $X$. A continuación, la dimensión de la correspondiente componente es el mismo en $U_{\bar{k}}$ es de $X_{\bar{k}}$. Por lo tanto, por el afín caso, al $X$ es integrante de finito de tipo más de $k$, todos los componentes de $X_{\bar{k}}$ tiene la misma dimensión como $X$.