${A_1}^k + {A_2}^k + \cdots +{A_n}^k = 0$ para todos $k \in \mathbb N_{>0}$ $\implies$ $A_i$ son todos nilpotentes.

Question

¿Es cierta la siguiente afirmación?

Dado $n$ matrices reales $A_1, A_2, \cdots A_n$ Si su $k$ -La suma de las potencias es cero para todos $k \in \mathbb N_{>0}$ entonces todos son nilpotentes.

Dado $n$ variables reales $x_1, x_2, \cdots x_n$ Si su $k$ -La suma de las potencias es cero para todos $k \in \mathbb N_{>0}$ entonces todos son idénticos a cero. Esto se puede demostrar reuniendo los mismos valores y utilizando el hecho bien conocido de que la matriz de Vandermonte es invertible. He probado el mismo método. La entrada ${x_i}^j$ se convierte en ${A_i}^j \otimes I$ por lo que el determinante viene dado por el producto de ${(\det(A_i -A_j))}^n$ que no es necesariamente distinto de cero. Me quedé atascado aquí.

Answer 1

Es cierto para todos $n$ para matrices con coeficientes en cualquier campo $K$ de la característica $0$

De hecho, es evidente que se puede suponer que $K$ es algebraicamente cerrado (porque todo campo tiene una clausura algebraica - si sólo le interesan las matrices reales, considere $K=\mathbb{C}$ ).

Entonces $tr(A^k) = \displaystyle\sum_{\lambda\in Spec(A)\setminus\{0\}} m_\lambda^A\lambda^k$ (donde $m_\lambda^A$ es la multiplicidad de $\lambda$ en $A$ (esto se ve fácilmente al trigonalizar)

Por lo tanto, con su hipótesis, $tr(\displaystyle\sum_i A_i^k) = 0, \displaystyle\sum_i \sum_{\lambda\in Spec(A_i)\setminus\{0\}} m_\lambda^{A_i}\lambda^k =0$ .

Ahora, si reagrupas los términos, esto te da algunos números complejos no nulos $\lambda_1,...,\lambda_l$ y algunos enteros no nulos $m_1,...,m_l$ tal que $\displaystyle\sum_j m_j \lambda_j^k =0$ para todos $k$ .

Si dejas de $k$ en el punto correcto, se obtiene una matriz de VanderMonde que, por lo tanto, debería ser invertible, pero que tiene un vector no nulo en su núcleo ( $(m_j)_{j\in \{1,...,l\}}$ ), lo cual es una contradicción. Pero, ¿qué hemos contradicho? Pues el hecho de que este vector fuera distinto de cero, es decir, que $l>0$ : por lo que la dimensión es cero, pero si retrocedemos lo que hicimos, esto significa que todos los $Spec(A_i)\setminus\{0\}$ están vacíos, es decir $Spec(A_i) \subset \{0\}$ lo que implica por el teorema de Cayley-Hamilton que $A_i$ es nilpotente.

Obsérvese que la hipótesis necesaria no era "para todos $k>0$ "sino "para todos $k\in \{1,..., na\}$ " donde $a$ es la dimensión de las matrices por ejemplo.

Nota: como se indica en los comentarios, este argumento no funciona (al menos no sin trabajar un poco más) en la característica positiva.

Edición 2 : De hecho, el comentario de Jyrki Lahtonen facilita la aparición de contraejemplos en la característica $p$ : poner $n=p$ y $A_i = I_n$ . Entonces, claramente $A_i$ no es nilpotente, pero $\displaystyle\sum_i A_i^k = \sum_i A_i = pI_p = 0$ . Por supuesto, se pueden encontrar muchos más ejemplos de esta manera