$s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ y $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{s_n^2}$ converge!

Question

Asumir que $a_n \geq 0$ y que $a_n \to 0$y $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ y que $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty$, prueban que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{s_n^2}$ es convergente.

No se trata de una tarea, pero el profesor anotó como especie de una cuestión que puede ser que aparezca en la prueba en unas semanas.

Answer 1

Sugerencia

Utilice esta desigualdad

$$\frac{a_n}{s_n^2}\le \frac{a_n}{s_ns_{n-1}}=\frac{s_n-s_{n-1}}{s_ns_{n-1}}=\frac{1}{s_{n-1}}-\frac{1}{s_{n}} junto con criterios de Cauchy y telescópico.