¿Hacer Maxwell ' ecuaciones de s implican que aún cargas producen los campos electrostáticos y sin campos magnéticos?

Question

Supongamos que tenemos un % de la distribución de la carga $\rho$, cuya densidad de corriente es J$=\vec{0}$ por todas partes; la ecuación de continuidad implica $\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$, es decir, las cargas no se mueven y la densidad es siempre la misma. Se esperaría tal distribución para producir un campo eléctrico estático y ningún campo magnético. Si enchufa nuestras variables en las ecuaciones de Maxwell obtenemos $$\nabla\cdot \textbf{E}=4\pi \rho $$ $$ \nabla \cdot \textbf{B}=0$$ $$\nabla \times \textbf E= -\frac{1}{c}\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t}$$ $% $ $\nabla \times \textbf B= \frac{1}{c}\frac{\partial \textbf{E}}{\partial t}$

Pero ¿cómo uno pasar de esto a $\bf B=0$ y $\frac{\partial \bf E}{\partial t}=0$?

Answer 1

Un sistema sin movimiento de cargas es consistente con la existencia de sólo un campo eléctrico estático y sin campo magnético. Sin embargo, no requieren que allí no depende del tiempo de los fenómenos. La solución general en este caso consta de un campo electrostático, más libremente la propagación de las ondas electromagnéticas.

Usted puede ver la consistencia de los campos estáticos mediante el ajuste del tiempo de los derivados en las ecuaciones a cero. Entonces no es sólo una estática de la divergencia de la fuente para $\vec{E}$, es decir un campo electrostático. Sin embargo, es posible añadir el tiempo de campos dependientes de uno o más de multiplicación vegetativa de la saludó en la parte superior de eso.

En general, cualquier sistema de ecuaciones diferenciales, va a tener sus soluciones determinado por las ecuaciones, junto con las condiciones de frontera. Es el (espacio y tiempo) condiciones de frontera en este caso que determinar si hay también libremente la propagación de las ondas electromagnéticas presentes.

Answer 2

El OP está preguntando si las ecuaciones de Maxwell, junto con la ecuación de continuidad y la condición de que $\textbf J =0$ es suficiente para obtener la $\textbf B=0$$\frac{\partial \textbf E}{\partial t}=0$.

La respuesta para la primera parte es negativo. Es fácil ver que las ecuaciones de Maxwell solo no precisamente determinar el campo eléctrico y magnético. La adición de un campo constante a una solución volverá a dar una solución: $$\textbf E \to \textbf E + \textbf E_0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textbf B \to \textbf B + \textbf B_0$$ Esto corresponde a la física posibilidad de un "campo de fondo" que no puede ser determinado únicamente a partir de las ecuaciones de sí mismos.

La respuesta a la segunda pregunta también es negativo. Tome $\textbf E = (xt,-yt+3y,0)$. Entonces

$$\nabla \cdot \textbf E = 3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{but}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\partial \textbf E}{\partial t}=(x,-y,0)\neq 0 $$ Esto resuelve las ecuaciones de Maxwell, como un campo magnético correspondientes serían $\textbf B = (0,0,xy/c)$. Este ejemplo no puede ser particularmente significativo físicamente, pero muestra que no es posible obtener las condiciones que estás diciendo, simplemente a partir de las ecuaciones. Para obtener lo que estás diciendo, usted necesita más información, sobre todo en la forma de condiciones de contorno, que es a menudo la más físicamente relevante.

Answer 3

Adicional a la existente respuestas: sí, la solución no es única. De hecho, incluso si fortalecemos los supuestos a$\rho=0$, de modo que no hay cargos (como ocurre en el vacío), usted todavía puede obtener una onda electromagnética. En otras palabras, la luz puede viajar a través de un vacío!

Si esta característica de ecuaciones diferenciales parece extraño, no es más extraño que el hecho de que, cuando no hay ninguna fuerza sobre un cuerpo (es decir,$\ddot{x}=0$), todavía se puede mover. Matemáticamente, la razón es la misma. Para el OP del problema que se nos puede mostrar que $$c^{-2}\partial_t^2 \mathbf{E}-\nabla^2\mathbf{E}=-4\pi\boldsymbol{\nabla}\rho,\,c^{-2}\partial_t^2 \mathbf{B}-\nabla^2\mathbf{B}=0.$$(If you want to try proving these, use $\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{X}=\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{X})-\nabla^2\mathbf{X}$.) We can always add to the solution something proportional to the plane wave $\exp i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-kct)$ for a constant wavevector $\mathbf{k}$, por lo que no se puede gobernar.

Cuando nos vamos de nuevo a la original de primer orden ecuaciones, encontramos el plano de onda de las soluciones puede ser añadido, pero no de forma arbitraria. Por ejemplo, si añado $\mathbf{E}_0,\,\mathbf{B}_0$ veces el plano de onda, se requieren $\mathbf{E}_0\cdot\mathbf{k}=\mathbf{B}_0\cdot\mathbf{k}=0$.

Answer 4

Un corto, pero creo que importante, comentario a añadir aBuzz de la Respuesta y de las J. G. de la respuesta, que muestran que la ausencia de campo magnético de la solución es el sonido, pero no único, y, en general, uno debe considerar las condiciones de contorno.

Una palabra clave y concepto que se utiliza aquí para arreglar las soluciones que cualquier respuesta completa a la presente y otras preguntas similares se debe, en mi opinión, hablar es de la Radiación de Sommerfeld Condición. La implementación de esta condición hace que el cero del campo magnético de la solución a la OP del problema único. En particular, las reglas de infinitas ondas planas que se pueden agregar a la solución como en J. G. s respuesta.

No sólo el Sommerfeld condición de eliminar la ambigüedad y es ampliamente asumido "la condición de límite en el infinito" para electromagnético problemas, (o algo parecido) es también necesario para la implantación del Teorema de Helmholtz, que es esencialmente acerca de la descomposición de Hodge de un formulario al descartar el componente armónico.