¿Continua $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ tal que $f(0)=f(1)$ y $\forall\alpha\in(0,1)\exists c\in[0,1-\alpha]|f(c)=f(c+\alpha)$?

Question

Que $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ continua que $f(0)=f(1)$. ¿Es verdad que el $\forall\alpha\in(0,1)\exists c\in[0,1-\alpha]|f(c)=f(c+\alpha)$?

Al principio traté de encontrar un contraejemplo, pero mi intuición dice es cierto. Entonces tengo la idea de aplicar el teorema de Bolzano a $g(x)=f(x)-f(x+\alpha)$ define en $[0,1-\alpha]$ pero no consigo nada. ¿Qué puedo hacer?

Answer 1

Si usted elige $$f(x): =\begin{cases} x &: x < \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2}-x &: \frac{1}{4}\leqslant x\leqslant \frac{3}{4} \\ x-1 &: \frac{3}{4}\leqslant x \leqslant 1\end{cases}$$ and $\alpha=\frac{3}{4}$ then $f (x) \geq 0 $ and $f(x+\alpha) \leqslant 0$ for all $x\in [0,1-\alpha] $.

Answer 2

Considerar $f(x) = \sin(2\pi x)$ y $1/2 < \alpha < 1$. Entonces, $f(x)\geq 0$ y $f(x+\alpha)\leq 0$ % todos $x\in [0, 1-\alpha]$.