¿Cómo probar$\prod_{k=1}^{\infty}{\frac{p_k^2+1}{p_k^2-1}}=\frac{5}{2}$?

Question

Me encontré con la siguiente fórmula debido a Ramanujan:

$$\prod_{k=1}^{\infty}{\frac{p_k^2+1}{p_k^2-1}}=\frac{5}{2}.$$

¿Alguien me puede mostrar lo que parece la prueba de esto, o me apunte a una referencia (en inglés)?

Answer 1

Producto de Euler, para cualquier $s>1$ tenemos $$ \zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s} = \prod_{p}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1} \tag{A}$ $ por lo tanto, $$ \prod_{p}\frac{p^2+1}{p^2-1} = \prod_p\frac{1-\frac{1}{p^4}}{\left(1-\frac{1}{p^2}\right)^2} = \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} = \frac{90}{36} = \frac{5}{2}.\tag{B}$ $ % asimismo, $\prod_{p}\frac{p^4+1}{p^4-1}=\frac{7}{6}$.