¿Cómo los antiguos vista *infinitesimals*?

Question

Con algunos categoría/topos de la teoría de la que ahora podemos poner infinitesimals en un riguroso tierra, como en el de Bell Un manual de Análisis Infinitesimal, donde el autor introduce $\epsilon$ satisfactoria \begin{equation} \epsilon\ne 0, \epsilon^2=0. \end{equation}

Sin embargo, también señala que esta versión de infinitesimal no es compatible con la ley del medio excluido.

Mientras tanto, el autor parece convencido de que esta $\epsilon$ es el infinitesimal en los ojos de Newton y Leibniz, entre muchos otros, cuando ellos estaban atacando a problemas como la velocidad instantánea y el área bajo una curva.

Me pregunto si esto es verdad. Sé que la gente como Newton y Leibniz no hizo uso de la limitación de argumento. Pero esto no significa que no piense de infinitesimals como nilsquare elementos como los descritos por la Campana, porque todavía hay otros modelos de infinitesimals disponible.

Muchas gracias.

Answer 1

Creo (pero estoy muy abierto a la corrección por aquellos que conocen la historia mejor que yo) que la situación es básicamente esto. Newton, Leibniz y otros de los primeros practicantes hecho un montón de suposiciones (tanto explícitas e implícitas) sobre infinitesimals que no puede de manera coherente todo se llevará a cabo la verdadera juntos. Por eso, desde los primeros días, comenzando con el Obispo Berkeley se burla de la idea, no estaba pendiente de la ansiedad acerca de infinitesimals que duró derecho en el siglo xx. "Trabajado" maravillosamente bien, pero aparentemente no debería tener.

Así que el nombre del juego no es para encontrar el relato coherente de infinitesimals que Newton y Leibniz tuvo a la vista. Más bien, el juego es uno de óptima reconstrucción racional. Lo coherente vista nos da una teoría que satisface las más importantes características que Newton y Leibniz quería en un cálculo de infinitesimals, y lo hace en el más bonito, más matemáticamente fructífero camino?

Pero la nota no tiene por qué ser un hecho de la cuestión acerca de cuáles son las características más importantes, acerca de lo más bonito, acerca de lo más fructífera. Estos van a ser el juicio de llamadas, y tal vez habrá diferentes maneras, con diferentes costos y beneficios. Incluso si decidimos que el tipo de teoría que Bell presenta en general es un "best buy", sin duda, sería empujar el principio de beneficencia interpretación del punto de ruptura a decir que eso era lo que Newton y Leibniz que "realmente" se entiende todo junto. Casi sin duda, cualquier coherente de la teoría se han de negar las cosas que les han dado por sentado.

Pero luego está la Campana de la suave análisis infinitesimal, la mejor compra? Como el OP indica, hay otras y más popular de las versiones modernas de análisis no estándar que quedarse cerca de Robinson original. Para un desarrollo extendido de uno, ver Nader Vakil impresionante y esclarecedor Análisis Real a Través de la Moderna Infinitesmials (en el Cambridge de la Enciclopedia de las Matemáticas de la serie). Pero no quiero decir que esa teoría, en lugar de Bell -- atractiva, aunque es -- es lo que Newton y Leibniz realmente estaban hablando! Ser la mejor compra en el barrio es la recomendación suficiente.

Answer 2

Su pregunta me la lectura (buscar en google). Este papel: Leibniz de Infinitesimals: Su fictionality, sus modernas implementaciones, y sus enemigos desde Berkeley a Russel y más allá (Katz & Sherry, 2012), en la sección 4, se refiere explícitamente a su pregunta, con una cita de Leibniz a sí mismo incluso. En su cálculo, $\epsilon^2 \neq 0$. Estoy sólo 1/3, pero este es un bonito papel. Aquí está la cita:

"ser impulsado a volver a caer en suposiciones que son admitidos por nadie; como de que algo diferente está obtenido de multiplicar 2 por m y por la multiplicación de m por 2; que el último fue imposible en cualquier caso en el que el primero era posible; también que el cuadrado o el cubo de cantidad no es una cantidad o Cero (Leibniz traducido por el Niño [28, p. 146])." (énfasis añadido)

Answer 3

El Arquímedes de la propiedad de los números reales se dice que no hay $\varepsilon>0$ tal que $$ \underbrace{\varepsilon+\cdots\cdots+\varepsilon}_{n\text {}} $$ queda menos de $1$, independientemente de cuán pequeño $\varepsilon$, mientras el número cardinal finito $n$ es lo suficientemente grande.

Una explicación de por qué se llama "Arquímedes" es que Arquímedes de Siracusa (287 AC – c. 212 AC), un aparejador, físico, ingeniero, inventor, dijo que tales cantidades no existen. Sin embargo, él los utiliza de manera brillante. Dijo que sus argumentos el uso de infinitesimals caída de completar las pruebas, porque infinitesimals no existen. Todos sus argumentos el uso de infinitesimals están en un trabajo, a veces titulado El Método.

He aquí un ejemplo:

• Dibujar una línea secante a una parábola con los extremos de $A$$B$. (Esto no tiene que ser ortogonal al eje, como se podría pensar a partir de algunas de las ilustraciones.)
• A través de $B$, dibujar la tangente de la línea; a través de $A$ dibujar una línea paralela al eje. Estos se reúnen en $C$.

Arquímedes dijo: Una tercera parte del área del triángulo $ABC$ está dentro de la curva.

Para demostrar esto, se basó en el concepto de centro de gravedad, que había sido presentado por él. También se basó en el concepto de par de torsión sobre una palanca, también introdujo por primera vez por él.

• Deje $D$ ser el punto medio entre el$A$$C$. Considere la posibilidad de $D$ a ser el punto de apoyo de una palanca, que es la línea de $DB$.
• Deje $E$ estar en la línea de $DB$, sólo en la medida desde el fulcro $D$$B$, pero en la dirección opuesta.

Arquímedes demostró que el centro de gravedad de los interiores de un triángulo es en esta línea de $DB$, un tercio del camino de$D$$B$. Si uno puede dejar todo el peso del triángulo de reposo en el que el centro de gravedad, y un peso igual a la delimitada por la curva y la secante de línea en $E$, luego de que la palanca está en equilibrio, precisamente, de la proposición a demostrar que es verdad.

Para mostrar que, consideró secciones transversales paralelas al eje. Deje que el infinitesimal peso de cada sección transversal (proporcional a su longitud) resto de la palanca en el punto donde la sección transversal cruza la palanca. Arquímedes afirmó que esta iba a ejercer como par tanto la palanca como si todo el peso del triángulo que se encuentra en el centro de gravedad.

Así que vamos a lo infinitesimal de peso uno de esos sección transversal resto de la palanca $DB$ en el punto donde se cruza con $DB$. Y dejar un peso igual a la de la parte de la sección transversal que está dentro de la curva de descanso en $E$. Si la palanca está en equilibrio, entonces hemos terminado. Pero eso es sólo lo que en lenguaje moderno que podríamos llamar la ecuación de la parábola. QUOD BRINDAMOS DEMONSTANDUM

Arquímedes utilizó el mismo método para demostrar que el centro de gravedad en el interior de un hemisferio (es decir, la mitad de una esfera) es de cinco ochos de la forma de la varilla en el centro. Y tal vez más de una docena de otras proposiciones; no recuerdo exactamente cuántos.

Answer 4

Los reales de admitir a axiomatization que permite infinitesimals. Mira http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number

Edit: perdón. No entendí la pregunta. Nadie puede decir con certeza. Los ancianos deben tener el pensamiento de infinitesimals como "muy pequeña" o "infinitamente pequeño" cambio, como en el diferencial de cambio "dx." Newton y Leibniz no tiene una definición formal de los reales y no eran conscientes de su integridad. Habían excelente intuición. Dudo que alguien le dé una explicación satisfactoria.

p.s. Esta pregunta se parece mucho al de la escuela secundaria:

¿Qué Dumas decir cuando escribió tal y como en su "bla-bla?"