Supongamos que $B$ es un espacio punteado y supongamos que $f\colon E\to B$ y $f\colon E'\to B$ son dos fibraciones de Serre. Sea además un mapa $g\colon E\to E'$ se dé de tal manera que $f=f'\circ g$ que es una equivalencia débil cuando se restringe a las fibras $E_x$ y $E'_x$ de $E$ y $E'$ sobre el punto base $x$ de $B$ .
Con el tiempo, quiero $g$ para ser una equivalencia débil, pero quizás necesite $B$ tener trivialidad $\pi_0$ .
Por las largas secuencias exactas de las fibraciones de Serre y los mapas compatibles entre ellas, ya conseguí que $\pi_k(g)$ es un isomorfismo para $k\geq 2$ por el quinto lema. Para $k=1$ existe un lema de cinco para grupos no abelianos que parece funcionar también si la entrada de la derecha $\pi_0(E_x)\cong\pi_0(E'_x)$ es sólo un conjunto punteado.
Mi pregunta se refiere al final $$ \begin{array}{cccccccc} \cdots\to&\pi_1B &\to & \pi_0 E_x &\to & \pi_0E &\to & \pi_0 B\\ &\downarrow\cong && \downarrow\cong && \downarrow && \downarrow\cong\\ \cdots\to&\pi_1B &\to & \pi_0 E'_x &\to & \pi_0E' &\to & \pi_0 B\\ \end{array} $$ de las dos secuencias largas exactas horizontales. Cómo concluir que $\pi_0(g)$ es un isomorfismo si $\pi_0B\cong *$ ? ¿Cómo concluir que $\pi_0(g)$ es un isomorfismo, si tenemos equivalencia de las fibras para cualquier punto base $x$ ?
Editar: Me interesa especialmente la situación de que todos los espacios implicados sean complejos de CW. Lo siento, que no he mencionado esto antes.
