¿Por qué son equivalentes los espacios totales de dos fibraciones de Serre cuando las bases y las fibras son equivalentes?

Question

Supongamos que $B$ es un espacio punteado y supongamos que $f\colon E\to B$ y $f\colon E'\to B$ son dos fibraciones de Serre. Sea además un mapa $g\colon E\to E'$ se dé de tal manera que $f=f'\circ g$ que es una equivalencia débil cuando se restringe a las fibras $E_x$ y $E'_x$ de $E$ y $E'$ sobre el punto base $x$ de $B$ .

Con el tiempo, quiero $g$ para ser una equivalencia débil, pero quizás necesite $B$ tener trivialidad $\pi_0$ .

Por las largas secuencias exactas de las fibraciones de Serre y los mapas compatibles entre ellas, ya conseguí que $\pi_k(g)$ es un isomorfismo para $k\geq 2$ por el quinto lema. Para $k=1$ existe un lema de cinco para grupos no abelianos que parece funcionar también si la entrada de la derecha $\pi_0(E_x)\cong\pi_0(E'_x)$ es sólo un conjunto punteado.

Mi pregunta se refiere al final $$\begin{array}{cccccccc} \cdots\to&\pi_1B &\to & \pi_0 E_x &\to & \pi_0E &\to & \pi_0 B\\ &\downarrow\cong && \downarrow\cong && \downarrow && \downarrow\cong\\ \cdots\to&\pi_1B &\to & \pi_0 E'_x &\to & \pi_0E' &\to & \pi_0 B\\ \end{array}$$ de las dos secuencias largas exactas horizontales. Cómo concluir que $\pi_0(g)$ es un isomorfismo si $\pi_0B\cong *$ ? ¿Cómo concluir que $\pi_0(g)$ es un isomorfismo, si tenemos equivalencia de las fibras para cualquier punto base $x$ ?

Editar: Me interesa especialmente la situación de que todos los espacios implicados sean complejos de CW. Lo siento, que no he mencionado esto antes.

Answer 1

Suponiendo que $B$ está conectado, $\pi_0 E'_x\to \pi_0 E'$ es suryente, ya que todas las $\pi_0E'$ es la imagen inversa del punto distinguido de $\pi_0 B$ . Así, $\pi_0 g$ es suryente, por la persecución habitual del diagrama.

Pero no me parece que $\pi_0 g$ tiene que ser inyectiva. Como contraejemplo, propongo dejar que $B$ sea el intervalo $[0,1]$ con la topología cofinita y $E,E'$ sea la proyección desde $B\times \{0,1\}$ , $E$ con la topología del producto y $E'$ con la topología cofinita de nuevo. $E$ tiene los dos componentes del camino $B\times \{0\}$ y $B\times \{1\}$ mientras que $E'$ es conexo, ya que cada dos subconjuntos abiertos tienen una intersección incontable, en particular no vacía. Por otra parte, las fibras de ambos $E$ y $E'$ son espacios discretos de dos puntos.

Por último, defina $g:E\to E'$ para ser la identidad en los conjuntos subyacentes, que es continua porque la topología cofinita es más gruesa que la topología del producto. Se trata de una biyección, y por tanto de una equivalencia débil, sobre las fibras, pero mapea ambos componentes de $E$ al componente único de $E'$ . Lo único que queda por comprobar es que $E'$ es un fibrado. Debería bastar con levantar homotopías de caminos $I\to B$ a $E'$ lo cual es sencillo: basta con aplicar la homotopía a la $B$ coordenadas sin cambiar el $\{0,1\}$ coordinar.