Para todos los reales $x$, prueba $2^x > x$

Question

¿Cómo puedo probar todos reales $x$, $2^x > x$? Puedo probar esto para los números enteros con la inducción, pero no puedo averiguar cómo probar reales. ¿Tal vez se podría decir desde $2^x$ está aumentando terminantemente, $2^x \ge 2^{floor(x)} > floor(x)$, pero esto es realmente el mejor enfoque?

Answer 1

¿Puede mostrar que $x\log2>\log x$, $\, \forall\, x>0$?

Answer 2

Ya que han demostrado que para todos los enteros, el paso clave que se ha hecho. Ahora tenga en cuenta que sólo estamos a mostrar la desigualdad de la $x \in \mathbb R^+$ debido a que la desigualdad se convierte en trivial para $x \in \mathbb R^-$ e al $x=0$, la desigualdad es obviamente cierto. Así que ahora nos tenga en cuenta que $2^n>n$ $\forall n$ $\geq 0$. En otras palabras, tenemos $2^n \geq n+1$ $\forall n$ $\geq 0$. Ahora elegir cualquier $\epsilon$ tal que $n<\epsilon<n+1$. A continuación, obtener $2^n$$^+$$^1$ $>$ $2^\epsilon$ $>$ $2^n$ $\geq$ $n+1$ $>$ $\epsilon$ $>$ $n$. De ahí resultó para todos los reales positivos.

Tenga en cuenta que me han dicho que el resultado es demostrado por todos los reales positivos, pero no se ha demostrado que, por lo que debe ser. Probar esto y el resultado será completamente demostrado.

Answer 3

Sugerencia

La derivada de la función $f(x) = 2^x-x$ es $$f'(x) = \ln(2) \cdot 2^x - 1$$ which has only one zero (let's say at $x_0$). Check that this is a minimum point and make sure that $f(x_0) > 0$, and you are done, since $f(x)$ es continua.

Answer 4

Sugerencia

Tomar el $^2\log$ en ambos lados