Cardinalidad del conjunto de múltiple representación de decimales

Question

El conjunto de los números reales en el intervalo abierto $(0,1)$ que tienen más de una expansión decimal es

(A) Vacío

(B)no está vacía, pero finito

(C)Countably infinito

(D)incontable

Sé que, $$\frac{1}{10}=.10000...=.0999999...$$ $$\frac{1}{10}=.010000...=.099999...$$ $$ \frac{1}{100}=.0010000...=.0099999...$$

$$...$$

$$\frac{1}{10^n}$$ ha también los dos representación binaria.

Creo que la respuesta es (C). Estoy en lo cierto? ¿Cómo puedo probar rigurosamente. Por favor me ayude.

Cuando estaba haciendo la pregunta anterior, esta pregunta vino a la mente.

Tengo duda de que El conjunto de los números reales en el intervalo abierto $(0,1)$ que tienen más de un binario de expansión es

(A) Vacío

(B)no está vacía, pero finito

(C)Countably infinito

(D)incontable

Creo que los elementos de la forma $\frac{1}{2^n}$ tiene dos binarios de expansión en $(0,1)$ . pero yo no podía dar la rigurosa prueba. Por favor me ayude.

Answer 1

En cualquier base $b$, con $h$ para denotar la máxima cifra posible, todos los numeros en $(0,1)$ que tienen más de una representación tienen la forma $$0.xxx\dots p000\ldots=0.xxx\dots qhhh\dots$ $ donde $p\ne0$ y $q=p-1$. En otras palabras, tienen una extensión que termina.

Así el conjunto de todos los números es infinito numerable por la siguiente biyección entre las expansiones que termina y los enteros positivos: $$(0.x_1x_2\dots x_k)_b\to(x_k\dots x_2x_1)_b$ $ (C) es correcta para ambas preguntas.

Answer 2

Un número tiene más de un decimal de expansión si y sólo si tiene la terminación decimal de expansión.

Para ver esto, si lo hace terminar, entonces si va como $\overline{a_1\cdots a_n . b_1\cdots b_n}$, a continuación, una corriente alterna decimal de expansión también es $\overline{a_1\cdots a_n.b_1\cdots b_{n-1} 999...}$

Por otro lado, cualquiera que no decimal finito de expansión se determina de forma única, por ejemplo, repite la división larga, que no se extingue, y por lo tanto no nos da espacio para introducir la cadena de $9$s, como se ha hecho en el último caso.

Por lo tanto, el conjunto de los números reales es en realidad contable.

Un argumento similar puede ser dado por el binario caso, con la misma conclusión.