Difícil problema sobre $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x,y)+f(y,z)+f(z,x) = 0$ % real todas $x, y, z$

Question

Que $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ es una función tal que $f(x,y)+f(y,z)+f(z,x) = 0$ para todos los números reales $x, y$ y $z$. Demostrar que existe una función $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x,y) = g(x)−g(y)$ para todos los números reales $x$ y $y$.

¿Tentativa: Podemos sólo fijamos $z = 0$ y $f(x,y)$?

Answer 1

Sugerencias:

1. Demostrar que $f(x,x)=0$ % todos $x$.

2. Demostrar que $f(x,y)=-f(y,x)$ % todos $x,y$.

3. Set $g(x)=f(0,x)$ y luego aplicar el primer intento (ya modificado) para demostrar que $f(x,y)=g(x)-g(y)$.

Answer 2

Esto no es cierto en general, pero será verdad para este inusual de la función que tiene la inusual propiedad de que:

$f(x,y) + f(y,z) + f(z,x) = 0$.

Esto significa que $f(x,y) = -f(z,x)- f(y,z) $.

Esto es cierto para todos los $z$, por lo que si podríamos definir $g(w) = -f(c,w)$ $g(w) = f(w,z)$ para algunas constantes $c$ nos llevaría a cabo. (Como $g(x) - g(y) = -f(c,x) -f(y,c)= f(x,y)$.)

Pero eso requeriría que hay algunos de los que constante$c$, de modo que $-f(c,w) =f(w,c)$ todos los $w$ y eso no es cierto en general.

Pero, $f$ es no una costumbre de la función. Tal vez esto ES cierto para $f$.

Podemos demostrar que $f(w,z) = -f(z,w)$ todos los $w,z$.?

Deje $x = y = w$: a Continuación,$f(w,w) + f(w,z)+ f(z,w) = 0$$f(w,z) = -f(z,w) - f(w,w)$.

Disparar! Que estaba tan cerca, pero a $-f(z,w) - f(w,w) \ne -f(z,w)$ si $f(w,w) = 0$ y eso no es cierto en general.

Pero, de nuevo, $f$ es no una función general. Quizás $f(w,w)$ hace igual $0$ todos los $w$.

Deje $x = y = z = w$: a Continuación,$f(w,w) + f(w,w) + f(w,w) = 0$$f(w,w) = 0$.

Eso es todo! Hemos terminado.

.....

Si establecemos $g(w) = f(w,c)$ para algunas constantes $c$ obtenemos:

$f(x,y) + f(y,c) + f(c,x) = 0$ , por lo que

$f(x,y) = -f(c,x) - f(y,c) = -f(c,x) - g(y)$.

Ahora$f(c,x)+ f(x,x) + f(x,c) = 0$, por lo que

$f(c,x) = -f(x,c) - f(x,x) = -g(x) - f(x,x)$ , por lo que

$f(x,y) = -f(c,x) - g(y) = g(x) + f(x,x) - g(y)$.

Ahora$f(x,x) + f(x,x) + f(x,x) = 0$$f(x,x) = 0$, por lo que

$f(x,y) = g(x) +f(x,x) - g(y) = g(x) - 0 - g(y) = g(x) - g(y)$.

Hemos terminado.

O por una tercera vez:

$f(x,y) = -f(y,c) - f(c,x) $

$=-g(y) - (0 - f(x,x) - f(x,c))$

$= -g(y) + g(x) + f(x,x) $

$=g(x)-g(y) + \frac 13(f(x,x) + f(x,x) + f(x,x))$

$=g(x) - g(y) + \frac 13(0)$

$= g(x)-g(y)$.