Soluciones alternativas a $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\int_{ 1/{\sqrt{n}}}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x^3}\mathrm{d}x$

Question

Aquí es un límite que puede ser calculado directamente por la realización de la integración y, a continuación, tomar
el límite, pero el camino es bastante feo. ¿Qué otra cosa podemos hacer? Podríamos evitar la integración? $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\int_{ 1/{\sqrt{n}}}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x^3}\mathrm{d}x$$

Answer 1

Una forma alternativa es notar que la expansión de las integrando también proporciona:

$$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}<\frac{\ln(1+x)}{x^3}< \frac{1}{x^2}\;\,\text{for}\;\,0<x<1$$

Por lo tanto:

$$\frac{1}{\sqrt{n}}\int_{1/\sqrt{n}}^1\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\,dx< \frac{1}{\sqrt{n}}\int_{1/\sqrt{n}}^1\frac{\ln(1+x)}{x^3}dx< \frac{1}{\sqrt{n}}\int_{1/\sqrt{n}}^1\frac{1}{x^2}dx$$

$$1-\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{\ln\sqrt{n}}{\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n}}\int_{1/\sqrt{n}}^1\frac{\ln(1+x)}{x^3}dx< 1-\frac{1}{\sqrt{n}}$$

$$\frac{1}{\sqrt{n}}\int_{1/\sqrt{n}}^1\frac{\ln(1+x)}{x^3}\to 1$$

Answer 2

Por la regla de L'Hospital:

$$ \lim_{n\rightarrow \infty} -\frac{\ln(1 + \sqrt{n}) n^{1.5} \frac{-1}{2 n^{1.5}}}{0.5 n^{-0.5}}$$ $$ = \lim_{n\rightarrow \infty} \ln(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}) \sqrt{n}$$ Utilizando el hecho de que $$\ln(1 + x) = x + O(x^2)$$

Vemos que el límite es de $1$.

Answer 3

$$\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}\int_{\frac{1}{\sqrt{n}}}^1\dfrac{\ln(1+x)}{x^3}\mathrm dx=\lim _{t\to \infty}\frac{1}{t}\int_{\frac{1}{t}}^1\dfrac{\ln(1+x)}{x^3}\mathrm dx= \lim _{t\to \infty}\ln(1+t^{-1})t^3/t^2=1$$ By l'Hospital's rule and $\log(1+x)/x\a 1$

Answer 4

No evitar estrictamente la integración, pero ampliando el integrando lo hace bastante sencillo:

$$\frac{\ln(1+x)}{x^3}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2x}+\frac{1}{3}-\frac{x}{4}+\cdots$$

$$\int_{\frac{1}{\sqrt{n}}}^1 \frac{\ln (1+x)}{x^3}dx=\left[-\frac{1}{x}-\frac{\ln x}{2}+\frac{x}{3}-\cdots\right]_{1/\sqrt{n}}^1=-\frac{3}{4}+\sqrt{n}+\frac{\ln \sqrt{n}}{2}-\frac{1}{3\sqrt{n}}+\cdots$$

$$\frac{1}{\sqrt{n}}\int_{\frac{1}{\sqrt{n}}}^1 \frac{\ln (1+x)}{x^3}dx=1-\frac{3}{4\sqrt{n}}+\frac{\ln \sqrt{n}}{2\sqrt{n}}-\frac{1}{3n}+\cdots\to 1$$

Answer 5

Cerca de $x = 0$, tenemos $$\frac{\log(1+x)}{x^3} \sim \frac{1}{x^2} - \frac{1}{2x} + \cdots$$ Escoge un $\delta > 0$ de manera tal que el término de error en R. H. S es$O(1)$$(0,\delta)$, tenemos:

$$\begin{align} \int_{\frac{1}{\sqrt{n}}}^1 \frac{\log(1+x)}{x^3} dx &= \left(\int_{\frac{1}{\sqrt{n}}}^\delta + \int_{\delta}^1\right) \frac{\log(1+x)}{x^3} dx\\ &= \left[ -\frac{1}{x} -\frac12 \log x \right]_{\frac{1}{\sqrt{n}}}^\delta + O(\delta) + \int_{\delta}^1 \frac{\log(1+x)}{x^3} dx\\ &= \sqrt{n} +\frac12 \log ( \sqrt{n} ) + O(\frac{1}{\delta}) \end{align}$$ Aviso de $\delta$ ha elegido independiente de $n$, tenemos: $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{\frac{1}{\sqrt{n}}}^1 \frac{\log(1+x)}{x^3} dx = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left(\sqrt{n} +\frac12 \log ( \sqrt{n} ) + O(\frac{1}{\delta})\right) = 1$$