¿Lo que ' s la diferencia entre $\frac{dy}{dx}$y $dy$?

Question

OK, yo estaba haciendo un problema de sustitución y me di cuenta que el $dy = u\ dx + x\ du$ y no $\frac{dy}{dx} = u\ dx + x\ du$ y me estaba preguntando cuál fue la diferencia entre los dos. Mi primera conjetura sería que $\frac{dy}{dx}$ significa diferencial $y$ con respecto a los $x$ y sería diferencial de $dy$ $y$, pero no sé lo que esto implica exactamente.

¿Puede dar ejemplos así que puedo envolver mi cabeza alrededor de ese concepto?

¿Si $\frac{dy}{dx}$ = integral de $3x$, que $y$ sería?

Answer 1

Tanto en $dx$ $dy$ son sólo símbolos que no significan nada fuera de contexto, pero probablemente no es una forma de explicar. $dx$ es el aumento de $x$ $dy$ es el aumento de $y$. Eso significa que si se agrega "infinitesimal" $dx$ a $x$, $y$ crecerá por $dy$. En otras palabras, $$dy=y(x+dx)-y(x).$$ Si usted escribe $\frac{dy}{dx}$, la media de $$ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{y(x+\Delta x) - y(x)}{\Delta x}, $$ desde $dx$ fue asumido infinitesimal.

Cuando usted escribe $dy$, siempre asumir que existe un $dx$. Por ejemplo, para $y(x)=\sin(x)$ $$dy = \cos(x)\,dx;$$ for $y(x)=e^x$ $$dy = e^xdx = y(x) dx.$$

Así, usted no puede simplemente escribir algo como $dy = 5$. Puede parecer que no tienen ningún sentido, pero la lógica de infinitesimals puede simplificar las pruebas, a veces (y era la única manera para derivar antes de Cauchy!)

En contraste, $\frac{dy}{dx}$ es siempre un número (todavía estamos hablando de funciones reales, ¿verdad?), que puede depender de $x$. Por ejemplo, para $y(x) = \sin(x)$ $$\frac{dy}{dx} = \cos(x).$$

En su ejemplo,$y(x, u) = x\cdot u$, y $$dy=y(x + dx, u + du) - y(x, u) = u\,dx + x\,du + dx\cdot du,$$ y $dx \cdot du$ se omite porque es mucho menos que otros sumandos y por lo tanto "insignificante". No puede ser calculado $\frac{dy}{dx}$ más, porque tendríamos que dividir infinitesimal $du$ por infinitesimal $dx$, pero hay $$\frac{\partial y}{\partial x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{y(x+\Delta x, u) - y(x, u)}{\Delta x} = u,$$ la derivada parcial, lo que nos permite escribir la ecuación de $dy$ en forma $$dy = \frac{\partial y}{\partial x}dx + \frac{\partial y}{\partial u}du.$$

En conclusión, $dy$ es el total de aumento de $y$ dependiendo de los aumentos de todas las variables ($dx$, $du$, etc.) y $\frac{dy}{dx}$ o $\frac{\partial y}{\partial x}$ es el crecimiento del coeficiente de determinación de cuánto más va a crecer $y$, con un crecimiento de sólo una variable $x$.

Answer 2

Los diferenciales están estrechamente relacionadas con la aproximación lineal de una función en un punto. Tomar alguna función continua $y(x)$, entonces se puede aproximar bien por $y(x)\approx y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$ $y(x)= y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)+\epsilon(x_0)(x-x_0)$ donde $\epsilon$ es el error en la aproximación. La ecuación básicamente dice que una función es aproximadamente igual a la tangente en a $x_0$. Tenga en cuenta que esta aproximación es válida sólo para $x \approx x_0$.

Como $x$ enfoques $x_0$, el término de error se reduce a $0$$y(x)=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$. Para indicar que $x-x_0$ debe ser muy pequeño, llame a $dx$, lo $y(x)=y(x_0)+y'(x_0)dx$. Un diferencial de una función es $dy=y'(x_0)dx$: el cambio en el $y$ co-ordenada de la tangente con un aumento en la $x$, $dx$. Dividir por $dx$ y tomar el límite cuando $dx \rightarrow 0$ encontrar la el incremento en $y$ co-ordenadas ($dy$) por incremento en $x$ co-ordenada (es decir, la derivada en ese punto, $\frac{dy}{dx}$, tipo de).

Para un ejemplo concreto, considere la posibilidad de $y(x)=u(x)v(x)$, entonces, usando la regla del producto, $y'(x_0)=u'(x_0)v(x_0)+u(x_0)v'(x_0)$, lo $dy=u'(x_0)v(x_0)dx+u(x_0)v'(x_0)dx$, pero tenga en cuenta que$dv=v'(x_0)dx$$du=u'(x_0)dx$, por lo que sustituyendo obtenemos $dy=v(x_0)du+u(x_0)dv$.

Tenga en cuenta que una cosa similar existe, $\Delta y(x)=y'(x_0)(x-x_0)+\epsilon(x_0)(x-x_0)$, que es el cambio en $y$ co-ordenadas de la curva (no la de la tangente), con un cambio $x$ $x$ a coordinar, a menudo escrito $y'(x_0)\Delta x+\epsilon(x_0) \Delta x$