Pregunta acerca de la clase GACION de grupo que se alterna

Question

Este es el problema de 26 de Grove "Álgebra".

Supongamos $K$ es una clase conjugacy en $S_n$ de tipo de ciclo $(k_1,...,k_n)$,$K \subseteq A_n$. Si $\sigma \in K$ escritura $L$ para la clase conjugacy de $\sigma$$A_n$.

Si bien $k_{2m} > 0$ o $k_{2m+1} > 1$ algunos $m$ muestran que $L = K$.

Puedo mostrarles $L \subseteq K$ pero no $K \subseteq L$. No sé cómo utilizar el "$k_{2m} > 0$ o $k_{2m+1} > 1$" hipótesis. Si $k_{2m} > 0$ algunos $m$ $\sigma \in A_n$ debe tener un número impar de transposiciones. Puedo obtener una pista?

Gracias.

Edit: $k_m$ es el número de ciclos de longitud m.

Answer 1

Supongamos que usted ha $\sigma'\in K$; usted quiere demostrar que $\sigma'\in L$.

Debido a $\sigma'\in K$ $\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma'$ algunos $\tau\in S_n$. Ahora si $\tau\in A_n$ $\sigma'\in L$ inmediatamente. El problema es si $\tau$ es impar y por lo tanto no en $A_n$.

Ahora la idea es que si podemos encontrar un extraño $\rho$ tal que $\rho\sigma\rho^{-1}=\sigma$, entonces tendríamos $\sigma'=\tau\rho\sigma\rho^{-1}\tau^{-1}$$\tau\rho\in A_n$, y podríamos concluir $\sigma'\in L$.

¿Cómo podemos encontrar a $\rho$? Aquí es donde el adicional de asunción sobre la estructura del ciclo. Sabemos que cualquiera de las $\sigma$ tiene un ciclo de incluso de longitud, o $\sigma$ tiene dos ciclos de la misma longitud impar. Si la primera es verdadera, entonces (bla bla); de lo contrario, la segunda es verdadera y (bla bla). Se puede tomar desde aquí?