Verifica la siguiente identidad trigonométrica.

Question

Verifique la siguiente identidad de trigonometría: $$\sin(3\theta)-\sin\theta = 2\cos(2\theta)\sin\theta$$

Aquí está mi trabajo hasta ahora.

$\sin(3\theta)-\sin\theta = 2\cos(2\theta)\sin\theta$

LHS: $$\sin(\theta+2\theta)-\sin\theta$$ $$\sin\theta \cos(2\theta)+\sin(2\theta)\cos\theta-\sin\theta$$ $$\sin\theta \cos(2\theta)+(2\sin\theta \cos\theta)\cos\theta-\sin\theta$$

¿A dónde voy a partir de aquí? Creo que debería dejar el primer término de la línea anterior como está, e intentar manipular los dos segundos términos para que sean iguales $\sin\theta \cos(2\theta)$ entonces el LHS se sumará para ser igual a $2\cos(2\theta)\sin\theta$ y se verificará la identidad. Cómo me sugieren que llegue hasta allí?

Se agradecerá cualquier sugerencia o consejo.

EDITAR:

Terminé verificando esta identidad utilizando la identidad frank000 mencionada en los comentarios. Gracias a todos por las aportaciones, han sido muy útiles.

Answer 1

¡Ya casi has terminado! En el segundo y tercer término, factoriza el $\sin \theta$ y obtendrás $2 \cos^2 \theta -1$ que podría reconocer como $\cos 2\theta$ .

Answer 2

pista : también utilizan $\sin(\theta) = \sin(2\theta - \theta) = \sin(2\theta)\cos(\theta)-\sin(\theta)\cos(2\theta)$

Answer 3

$\sin(3)\sin=2\cos(2)\sin$

$\sin\cos(2)+\sin(2)\cossin=2(\cos^2-\sin^2)\sin$

$\sin(\cos^2-\sin^2)+(2\sin\cos)\cos\sin=2(\cos^2-\sin^2)\sin$

$\cos^2-\sin^21=-2\sin^2$

$-\sin^2-\sin^2=-2\sin^2$

$-2\sin^2=-2\sin^2$