Fijo

Question

Aprendiendo sobre sistemas estacionarios, topé con este problema:

Que $\{S_\alpha : \alpha<\omega_1\}$ ser disjuntos conjuntos pares con $S_\alpha \subseteq \omega_1$ no-inmóviles cada $\alpha$. Demostrar que existe $A\subseteq \omega_1$ tal que $\mid A \mid = \aleph_1$ y $\cup_{\alpha \in A} S_\alpha$ también no es estacionaria.

Así que sabemos que cada $S_\alpha$ allí es un conjunto cerrado-ilimitada que tiene intersección vacía con $S_\alpha$. ¿Cómo podemos usar esa información aunque? ¿Tal vez alguna propiedad de conjuntos cerrados-ilimitada bajo intersección?

Answer 1

Forma recursiva construir un estrictamente creciente $\omega_1$-secuencia $\langle\beta_\xi:\xi<\omega_1\rangle$ $\omega_1$ tal que $\min S_{\beta_\eta}>\sup_{\xi<\eta}\beta_\xi$ cada $\eta<\omega_1$; el hecho de que el $S_\alpha$ pares son disjuntos aseguran que esto es posible. Que $A=\{\beta_{\xi+1}:\xi<\omega_1\}$ y que $S=\bigcup_{\alpha\in A}S_\alpha$. Si $\gamma\in S$, hay un único $\xi<\omega_1$ tal que $\gamma\in S_{\beta_{\xi+1}}$; que $\varphi(\gamma)=\beta_\xi<\min S_{\beta_{\xi+1}}\le\gamma$. Claramente $\varphi$ es una función de presionar y cada $\gamma<\omega_1$ el conjunto de $\varphi^{-1}\big[\{\gamma\}\big]$ es no estacionarios: está vacío o $S_\alpha$ $\alpha\in A$. El lema de presionar hacia abajo ahora implica que el $S$ no estacionarios.

Answer 2

Yo creo que tienen una dirección: por inducción sobre $\alpha < \omega_1$, se puede elegir un conjunto de $S_\beta$ fuera de los conjuntos tales que a $minS_\beta > \alpha$ (debido a que cada conjunto tiene un mínimo diferente debido a disjointness y tenemos $\omega_1$ juegos) y que no ha sido todavía. $A$ todos los $\beta$'s.

A continuación, suponiendo que por la negación de que $\cup_{\beta \in A}S_\beta$ es estacionaria, podemos construir un regresiva de la función, donde por un elemento $\alpha$ de esta unión nos tomamos el (único) $S_\beta$ a que es un miembro de, e $f(\alpha)$ se define como $\beta$. Es regresivo por la construcción de la $S_\beta$'s. Ahora por Fodor lema no es estacionaria $S_0 \subseteq$ la unión de tal manera que todos sus elementos se asignan los mismos valores por $f$, lo $S_0$ tiene que estar contenida en uno de los $S_\beta$'s, que no son estacionarias. A continuación, tenemos una contradicción, porque un conjunto estacionario no puede ser un subconjunto de un no-estacionario conjunto.

¿Es esto correcto?