Calcula

Question

I"m atascado en un ejercicio de análisis complejo relativa a la integración racional de funciones trigonométricas. Tengo la solución, pero no entiendo la parte específica. Aquí va:

Queremos encontrar a $\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin^2\theta}{5+3\cos\theta}\,d\theta$.

Deje $z=e^{i\theta}$, de modo que $d\theta=dz/iz$, $\cos \theta = \frac12 (z+z^{-1})$ y $\sin \theta = \frac {1}{2i}(z-z^{-1})$. Tenemos

$$\begin{align} I&=\int_0^{2\pi} \frac{\sin^2\theta}{5+3\cos \theta}d\theta\\\\ &=\oint_C \frac{-\frac14(z-z^{-1})^2}{5+3\frac12 (z+z^{-1})}\frac{dz}{iz}\\\\ &=\oint_C \frac{\frac i4 (z^2-2+z^{-2})}{5z+ \frac32 z^2 + \frac32}dz\\\\ &=\oint_C \frac{\frac i2 (z^2-2+z^{-2})}{3z^2 + 10z + 3}dz\\\\ &=\frac i2 \oint_C \frac{z^4-2z^2+1}{z^2(3z^2 + 10z + 3)}dz \quad (1) \end{align}$$

donde $C$ es el círculo unidad en el complejo de $z$-plano.

Si entiendo que el último paso correctamente le multipliy numerador/denominador por $z^2$ con el fin de deshacerse de la energía negativa de $z$.

Ahora para la parte que no entiendo en la solución. Se dice que

$$(1) = \frac i2 \oint_C \frac{z^4-2z^2+1}{z^23(z+3)(z+\frac13)}dz = \frac i6 \oint_C \frac{z^4-2z^2+1}{z^2(z+3)(z+\frac13)}dz$$

¿De dónde viene esta $3$ vienen en el denominador? Si me factor $3z^2 + 10z + 3$ simplemente me $(z+3)(z+\frac13)$.

Lo que es aún más extraño para mí es que, después de que el cálculo de los residuos, el autor es conseguir la correcta solución de $\frac{2\pi}{9}$ (he verificado con Wolfram) mientras estoy recibiendo $\frac{2\pi}{3}$, por lo que me estoy perdiendo un factor de $\frac13$ (es decir, me falta ese $3$ en el denominador).

Alguien me puede ayudar con esto?

Answer 1

$$\begin{align*} 3z^2 + 10z + 3 &= 3 \left(z^2 + \frac{10}{3}z + 1\right) \\ &= 3\left(z^2 + 3z + \frac{1}{3}z + 1\right) \\ &= 3\left(z(z + 3) + \frac{1}{3}(z + 3)\right) \\ &= 3\left(z + \frac{1}{3}\right)(z+3). \end{align*} $$

Te falta un factor de $2$ cuando vas de paso $3$ $4$ de paso. El denominador debe ser $3z^2 + 10z + 3$.

Answer 2

$$I=\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin^2\theta}{5+3\cos\theta}\,d\theta=\int_{0}^{\pi}\sin^2(\theta)\left(\frac{1}{5+3\cos\theta}+\frac{1}{5-3\cos\theta}\right)\,d\theta$ $ por lo tanto: $$ I = 10 \int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2\theta}{25-9\cos^2\theta}\,d\theta = 20\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos^2\theta}{25-9\sin^2\theta}d\theta $ $ y % de ajuste $\theta=\arctan t$: $$ I = 20\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{(1+t^2)(25+16t^2)}=\frac{20}{9}\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{1}{1+t^2}-\frac{16}{25+16t^2}\right)\,dt=\color{red}{\frac{2\pi}{9}}. $ $

Answer 3

Creo que el error proviene del mal uso de la fórmula cuadrática por factorización de un polinomio de segundo orden. Factorización de un polinomio y utilizando la fórmula cuadrática son dos cosas diferentes. Recordar que para un polinomio cuadrático

$$\color{blue}{ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)}$$

donde le falta el coeficiente $a=3$. La fórmula cuadrática voluntad sólo dará las soluciones de la ecuación cuadrática.