Propiedades de la función de los dígitos

Question

Dejemos que $f_n(x)$ definirse como el $n$ dígito del número $x$ .

El resultado de $f_n(x)$ sólo puede ser ${0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$ para la base 10.

Por ejemplo, si $x=12.46$ entonces

$f_2(x)=0$ ; $f_1(x)=1$ ; $f_0(x)=2$ ; $f_{-1}(x)=4$ ; $f_{-2}(x)=6$ ; $f_{-3}(x)=0$ .

Si tenemos tal función , podemos escribir cualquier número real fácilmente como se muestra a continuación:

$x=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty f_n(x) 10^n$

He intentado encontrar la expresión de la serie de potencias de la función. $f_n(x)=a_0(n)+a_1(n)x+a_2(n)x^2+\cdots$

$$\begin{align*} x&=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty f_n(x) 10^n\\ &=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty (a_0(n)+a_1(n)x+a_2(n)x^2+\cdots ) 10^n\\ \sum \limits_{n=-\infty}^\infty a_0(n) 10^n&=0\\ \sum \limits_{n=-\infty}^\infty a_1(n) 10^n&=1\\ \sum \limits_{n=-\infty}^\infty a_2(n) 10^n&=0 \end{align*}$$

Pero esto no me da tanta cosa para definir $a_k(n)$

¿Es posible encontrar $a_k(n)$ con algún método que conozca?

También me pregunto cuáles son las propiedades de la función $f_n(x)$ ¿son? (como $f_n(x+y)$ , $f_n(x.y)$ etc.) me pregunto la literatura sobre la función.

¿Podría compartir sus conocimientos sobre la función? Lo siento por su tiempo si se preguntó antes o muy básico para la teoría de números.

Muchas gracias por los consejos y las respuestas

Answer 1

Como dijo @Mark Dominus no podrás resolver por tu $a_k(n)$ pero se puede encontrar una serie de Fourier para $f_n$ .

En primer lugar $f_n(x) = f_0(10^{-n}x)$ et $x = \sum 10^n f_0(10^{-n}x)$ por lo que sólo me ocuparé de $f_0$ .

$f_0(x+10) = f_0(x)$ Así que vamos a ampliar $f_0$ a los números negativos por $f_0(x-10)=f_0(x)$ así que $f_0$ es periódica sobre todos los $\mathbb{R}$ . Para la limpieza definamos también $$f_0(k)=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{f_0(k-\epsilon)+f_0(k+\epsilon)}{2}$$ en los enteros redondos $k$ Así, por ejemplo $f_0(2.9999\ldots) = f_0(3.0) = 2.5$ et $f_0(29.9999\ldots)=f_0(30.0)=4.5$ . Además, deja que $g_0(x) = f_0(x)-4.5$ entonces $g_0$ es una función periódica impar y tiene una serie sinusoidal de Fourier. De hecho $g_0$ es la diferencia de dos ondas diente de sierra. Es bastante sencillo encontrar $$ g_0(x) = -\frac{10}{\pi}\sum_{k=1}^\infty b_k \sin\left(\frac{k\pi x}{5}\right) $$ donde $$ b_k = \begin{cases}0 & \mathrm{if}~10\mid k\\ 1/k & \mathrm{otherwise}\end{cases} $$

No conozco ninguna literatura sobre esta función. Me doy cuenta de que esto no ha respondido a sus preguntas específicas, pero espero que sea de algún interés.