¿Por qué dos eigen-estado-mercados con diferentes autovalores son ortogonales?

Question

Los operadores $J_1^2$, $J_2^2$, $J_{1z}$, y $J_{2z}$ son mutuamente desplazamientos de los operadores. Del mismo modo, $J_1^2$, $J_2^2$, $J^2$, y $J_z$ son mutuamente desplazamientos de los operadores. Los dos grupos son incompatibles, y la simultánea eigenkets junto con sus autovalores son dados por:

${J_1}^2 \left|j_1,j_2;m_1,m_2\right> = j_1 \left(j_1+1\right) \hbar^2 \left|j_1,j_2;m_1,m_2\right>$ ${J_2}^2 \left|j_1,j_2;m_1,m_2\right> = j_2 \left(j_2+1\right) \hbar^2 \left|j_1,j_2;m_1,m_2\right>$ $J_{1z} \left|j_1,j_2;m_1,m_2\right> = m_1 \hbar \left|j_1,j_2;m_1,m_2\right>$
$J_{2z} \left|j_1,j_2;m_1,m_2\right> = m_2 \hbar \left|j_1,j_2;m_1,m_2\right>$

y

${J_1}^2 \left|j_1,j_2;j,m\right> = j_1 \left(j_1+1\right) \hbar^2 \left|j_1,j_2;j,m\right>$ ${J_2}^2 \left|j_1,j_2;j,m\right> = j_2 \left(j_2+1\right) \hbar^2 \left|j_1,j_2;j,m\right>$
$J^2 \left|j_1,j_2;j,m\right> = j \left(j+1\right) \hbar^2 \left|j_1,j_2;j,m\right>$
$J_z \left|j_1,j_2;j,m\right> = m \hbar \left|j_1,j_2;j,m\right>$

He leído que cada conjunto de eigenkets son mutuamente ortogonales [1] (para eigenkets correspondientes a diferentes conjuntos de valores propios). Esto es lo que no entiendo. En principio tiene sentido, pero cuando me conecte los números no tengo cero para el interior del producto. Por ejemplo, tomar la primera eigenket: $\left|j_1,j_2;m_1,m_2\right>$. Si puedo elegir diferentes valores propios para este eigenket (por ejemplo, deje $j_1 = 0$ y, a continuación, deje $j_1 = 1$) me sale lo siguiente:

para $j_1 = 0$ me puede:
$\left|0,j_2;0,m_2\right>$

para $j_1 = 1$ I puede tener cualquiera de los siguientes, ya que $\left|m_1\right| \leq j_1$:
$\left|1,j_2;-1,m_2\right>$
$\left|1,j_2;0,m_2\right>$
$\left|1,j_2;1,m_2\right>$

Si tomo el interior-producto de la $j_1 = 0$ eigenket con cualquiera de las $j_1 = 1$ eigenkets no me da cero, por ejemplo:

$\left<0,j_2;0,m_2 \mid 1,j_2;-1,m_2\right> = {j_2}^2+{m_2}^2$

que no es cero a menos que $j_2 = 0$.

¿Qué estoy malentendido aquí? ¿Cómo se puede demostrar que eigenkets con diferentes valores propios son ortogonales?

Answer 1

El error es más probable que esté utilizando

$$\left<j_1,j_2;m_1,m_2 \mid j'_1,j'_2;m'_1,m'_2\right> = j_1j'_1+j_2j'_2+m_1m'_1+m_2m'_2, \quad \mathrm{(Mal!)}$$

donde usted debe utilizar

$$\left<j_1,j_2;m_1,m_2 \mid j'_1,j'_2;m'_1,m'_2\right> = \delta_{j_1,j'_1}\delta_{j_2,j'_2}\delta_{m_1,m'_1}\delta_{m_2,m'_2},$$

donde $\delta_{k,\ell}$ es la función delta de Kronecker.

En otras palabras, el $j$'s y $m$'s no son los coeficientes de $v^i$ de un vector $\vec{v}=\sum_i v^i \vec{e}_i$ en un espacio de Hilbert, donde $\vec{e}_i$ es un ortonormales, de manera que se

$$ \left<\vec{v}\mid\vec{v}'\right> = \sum_i (v^i)^*v'^i, \qquad \left<\vec{e}_i\mid\vec{e}_{i'}\right> = \delta_{i,i'}. $$

Más bien, el $j$'s y $m$'s corresponden a las $i$-etiquetas de la base $\vec{e}_i$. Por razones de brevedad, nos escriben a menudo $\left< i \mid i'\right>$ en lugar de $\left<\vec{e}_i\mid\vec{e}_{i'}\right>$.

Finalmente, para dar una respuesta completa, me deja incluir mi comentario anterior, que es una propiedad general de los vectores propios para diferentes valores propios de una Hermitian operador, que son ortogonales entre sí, ver por ejemplo, Lubos Motl la respuesta o aquí.

Answer 2

Valores propios de una Hermitian operador o en su conjunto - como componentes de $\vec J$ y/o $J^2$ - correspondientes a distintos valores propios son siempre ortogonales entre sí debido a la $$\langle \psi | M | \phi \rangle = m_\psi \langle \psi | \phi \rangle = m_\phi \langle \psi | \phi \rangle $$ Yo podría conseguir cualquier autovalor $m_\phi$ o $m_\psi$ actuando con $M$ en los dos lados. Porque esas dos cosas son iguales, tenemos $$ (m_\psi-m_\phi) \langle \psi | \phi \rangle = 0 $$ lo que implica - como los autovalores diferentes $$\langle \psi | \phi \rangle = 0$$ Su derivación de un valor distinto de cero interior del producto es incorrecta y que no podía haber derivado de las fórmulas por encima de su resultado final, porque ninguno de ellos contiene ninguna información sobre el producto interior - de hecho, no contienen bra vector de ningún tipo, por lo que su inversión de un ket vector y su interpretación de un producto interior fue claramente algunos de los principiantes de la incomprensión de lo que los símbolos significan.

Answer 3

su línea de $\left<0,j_2;0,m_2 \mid 1,j_2;-1,m_2\right> = {j_2}^2+{m_2}^2$ es hacer una suposición sobre lo que es un producto interior debe ser similar. Una de las técnicas para expresar su problema es tener en cuenta que la secuencia de valores propios identificar un elemento en un producto tensor de espacios vectoriales, no una suma directa. Si se trataba de una suma directa, su suma de cuadrados estaría en lo correcto, pero no lo es.

Lubo la Respuesta es totalmente correcta, suficiente como para que me upvoted él, porque él tiene toda la rep se puede conseguir, pero parece que necesita que usted sabe lo que está haciendo ya para que usted pueda entender. Cuando se utilizan objetos como $\left|j_1,j_2;m_1,m_2\right>$ a representar un estado, de forma implícita afirmación de que los operadores que tienen los autovalores $j_1,j_2;m_1,m_2$ son auto-adjuntos y mutuamente conmutativa. En la escuela primaria términos, podemos tomar esto para definir el producto interior en el espacio de Hilbert. No sabemos lo que el interior del producto hasta que haya definido. Si los valores propios son diferentes, en el interior del producto se define como el $0$, si los valores propios son el mismo, el producto interior está definido para ser $1$.

Como Lubo dice, todas las líneas por encima de la primera introducción de un sujetador son sólo acerca de los operadores que actúan en un espacio vectorial, no tiene un espacio de Hilbert hasta que usted haya definido un producto interior (y más que eso, cierre en la norma). Una vez que se ha definido un producto interior, $(\left|U\right>,\left|V\right>)$, se puede definir un sujetador como el objeto que actúa sobre un vector para obtener este valor, $\left<U \mid V\right>=(\left|U\right>,\left|V\right>)$. Hay un teorema que dice que podemos hacerlo si estamos correctamente cuidado, http://en.wikipedia.org/wiki/Riesz_representation_theorem.