Encontrar el grado de $[E:\mathbb{Q}]$

Question

Deje $p$ un número primo. Encontrar una división de campo de $E$ del polinomio $x^p-2 \in \mathbb{Q}[x]$.

He hecho lo siguiente:

Las soluciones de $x^p-2=0$ son : $$\sqrt[p]{2}, \sqrt[p]{2}\omega, \dots, \sqrt[p]{2}\omega^{p-1}, \text{ where } \omega=e^{\frac{2 \pi i}{p}}$$

Por lo tanto, la división de campo de la es $E=\mathbb{Q(\sqrt[p]{2}, \omega)}$

Es esto correcto??

¿Cómo puedo encontrar el grado $[E:\mathbb{Q}]$ ??

EDITAR:

$[E:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q(\sqrt[p]{2}, \omega)} : \mathbb{Q}]=[\mathbb{Q(\sqrt[p]{2}, \omega)} : \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2})][\mathbb{Q(\sqrt[p]{2})} : \mathbb{Q}]=[\mathbb{Q(\sqrt[p]{2}, \omega)} : \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2})]p$

Desde $Irr(\sqrt[p]{2}, \mathbb{Q})=x^p-2 \Rightarrow [\mathbb{Q(\sqrt[p]{2})} : \mathbb{Q}]=p$.

Pero ¿cómo podemos encontrar $[\mathbb{Q(\sqrt[p]{2}, \omega)} : \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2})]$ ??

EDIT: Prueba de que el grado es el producto de p y p-1:

$$[\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[p]{2}) :\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[p]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2})][\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}):\mathbb{Q}]=a \cdot p$$

$$[\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[p]{2}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[p]{2}):\mathbb{Q}(\omega)][\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}]=b \cdot (p-1)$$

$$a \cdot p = b \cdot (p-1) \Rightarrow p \mid a \cdot p \overset{(p, p-1)=1}{ \Longrightarrow } p \mid b \Rightarrow p \leq b \tag 1 $$ $$\Rightarrow a \cdot p \leq a \cdot b \Rightarrow b \cdot (p-1) \leq a \cdot b \Rightarrow p-1 \leq a \tag 2 $$

$$\mathbb{Q} \leq \mathbb{Q}(\omega) \leq \mathbb{Q}(\omega, \sqrt[p]{2}) \Rightarrow Irr(\sqrt[p]{2}, \mathbb{Q}(\omega)) \mid Irr(\sqrt[p]{2}, \mathbb{Q}) $$ $$\Rightarrow \deg Irr(\sqrt[p]{2}, \mathbb{Q}(\omega)) \leq \deg Irr(\sqrt[p]{2}, \mathbb{Q}) \Rightarrow b \leq p \tag 3$$

$$\mathbb{Q} \leq \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}) \leq \mathbb{Q}(\omega, \sqrt[p]{2}) \Rightarrow Irr(\omega, \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2})) \mid Irr(\omega, \mathbb{Q}) $$ $$ \Rightarrow \deg Irr(\omega, \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2})) \leq \deg Irr(\omega, \mathbb{Q}) \Rightarrow a \leq p-1 \tag 4$$

De $(1)$ $(3)$ tenemos que $b=p$ e de $(2)$ $(4)$ tenemos que $a=p-1$

Por lo tanto, $[\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[p]{2}) :\mathbb{Q}]=p(p-1)$.

Answer 1

Usted ha hecho la mayoría del trabajo por sí mismo, y su propuesta de la división de campo es correcto.

Podemos considerar dos torres de campos: $$\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}[\sqrt[p]{2}] \subset \mathbb{Q}[\sqrt[p]{2}, \omega]$$ $$\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}[\omega] \subset \mathbb{Q}[\sqrt[p]{2}, \omega]$$ donde $\omega$ $p^{\text{th}}$ raíz de la unidad.

En la primera torre, el intermedio de campo es de grado $p$ $\mathbb{Q}$ (żpor Qué?). En la segunda torre, el intermedio de campo es de grado $p-1$$\mathbb{Q}$. (de nuevo, ¿por qué?)

Ahora aplique el hecho de que $[K:F] = [K:E] \cdot [E:F]$ para una torre de campos de $F \subset E \subset K$. Dado esto, tanto en $p$ $p-1$ dividir el grado de la división de campo. Además, el grado de la división de campo es en la mayoría de las $p(p-1)$ ya que, en el peor de los casos, el polinomio mínimo de a $\sqrt[p]{2}$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}[\omega]$.

Por lo tanto...