Estoy tratando de mostrar lo siguiente:
\begin{equation*} E[e^{-\gamma W}]=e^{-\gamma(E[W]-\frac{\gamma}{2}Var [W])} \end{ecuación*}
pero realmente no puedo recordar lo que se supone que debo hacer para llegar desde el lado izquierdo al lado derecho. He intentado usar la integración de esta manera
\begin{equation*} \int We^{-\gamma W}dW \end{ecuación*}
y, a continuación, use integración por partes, pero a pesar de lo que me pasa similar, que no puede ser correcto (porque $e^{-\gamma W}$ no es la distribución de W).
También he intentado usar expansión en series de Taylor, pero creo que estoy lejos, y no creo que una aproximación aquí es lo que yo necesito, porque la igualdad anterior es exacta.
Para su INFORMACIÓN, esta no es la tarea, estoy trabajando a través de un papel (página 10) y realmente me gustaría saber cómo cada paso se deriva.
Puede alguien por lo menos me apunte a la dirección correcta?
EDIT: Esta expectativa en el lado derecho es muy similar a la del momento de generación de la función de la fórmula (con un exponente negativo). Si usted llega aquí, verás que en el momento de generación de la función de la distribución normal es como el LHS (pero con signo positivo). Así, en una forma tengo mi respuesta, pero aun así me gustaría saber cómo derivar, si hay una manera. Yo sé poco o nada sobre el momento de la generación de funciones, por lo que tal vez yo no debería tratar y derivar de él, pero en lugar de simplemente utilizar el resultado? Tiene aún sentido tratar y derivar de ella?
