Que $\sigma,\tau \in S_n$. Demostrar que $\sigma \tau$ y $\tau \sigma $ tienen el mismo tipo de ciclo.

Question

Deje $\sigma,\tau \in S_n$. Demostrar que $\sigma \tau$ $\tau \sigma $ tienen el mismo tipo de ciclo.

Estaba pensando que se puede reescribir $\sigma=g_1\cdots g_k$ $g_i$ ciclos disjuntos y $\tau=h_1\cdots h_l$ $h_i$ ciclos disjuntos. Pero no sé qué hacer a continuación, como $g_i$ $h_j$ no tiene que ser distinto.

Edit: Pude probar como esta ?

Podemos escribir $σ$ en ciclos disjuntos: $σ=σ_1...σ_r$ con longitudes de las $l_1,...l_r$. Así se obtiene: $σ_1=(a_1...a_{l_1}), σ_2=(b_1...b_{l_2}), σ_3=...$.

Lo que da: \begin{align*} τστ^{-1}&=τσ_1...σ_rτ^{-1}\\ &=τσ_1(τ^{-1}τ)σ_2(τ^{-1}τ)...(τ^{-1}τ)σ_rτ^{-1}\\ &=τ(a_1...a_{l_1})τ^{-1}τ(b_1...b_{l_2})τ^{-1}τ...τσ_rτ^{-1}\\ &=(τ(a_1)...τ(a_{l_1}))(τ(b_1)...τ(b_{l_2}))...τσ_rτ^{-1}\\ \end{align*}

Por lo tanto, $σ$ $τστ^{-1}$ tienen el mismo tipo de ciclo. Por lo $τσ$ $στ$ tienen el mismo tipo de ciclo.

Answer 1

Sugerencia: son elementos conjugados del grupo.

Answer 2

En primer lugar, basta para probar que $\tau\sigma\tau^{-1}$ y $\sigma$ tienen el mismo tipo de ciclo.

Es el Suppse uno de los ciclos en $\sigma$ $(a_1,a_2,\dots,a_n)$. Entonces, tratar de probar que existe un ciclo correspondiente en $\tau\sigma\tau^{-1}$ $\big(\tau(a_1),\tau(a_2),\dots,\tau(a_n) \big)$.

Si $\sigma$ envía $a_1$ $a_2$, ¿qué ¿$\tau\sigma\tau^{-1}$ envía $\tau(a_1)$ a?

Answer 3

En primer lugar consideremos el caso de que el $\tau$ es un solo ciclo, decir $\tau = (i_1,i_2,\ldots,i_k)$. Usted debe poder calcular $\sigma\tau$ y $\tau\sigma$ explícitamente en este caso. Entonces averiguar cómo generalizar cuando $\tau$ es un producto de ciclos disjuntos: para esto intente insertar copias de $\sigma^{-1}\sigma$ en varios lugares del producto $\sigma\tau\sigma^{-1}$ cuando $\tau$ está escrito como un producto de ciclos disjuntos.

Answer 4

A la luz de respuesta de @Robert, si $x$ y $y$ son dos permutaciones de un conjunto de $\Omega$ y $x=(\xi_1,\xi_2,...,\xi_k)$ y $$y^{-1}xy=(\xi_1^y,\xi_2^y,...,\xi_k^y)$$ In fact, in the product $ xy $ we expect to have the result of first applying the mapping $x $ and then the mapping $y$. Esto es qué @Robert de tratando de decirle.

Answer 5

Supongamos que $\sigma \tau=(a_1a_2\cdots a_k)(b_1b_2\cdots b_{\lambda})\cdots$.
Entonces $\tau\sigma(\tau(a_i))=\tau(\sigma\tau(a_i))=\tau(a_{i+1})\ldots$

Mostrar que $\tau\sigma=\left(\tau(a_1)\tau(a_2)\cdots\tau(a_k)\right)\left(\tau(b_1)\tau(b_2)\cdots\tau(b_{\lambda})\right)\cdots$.