Aquí es una pregunta que me he topado: demostrar por inducción que para cada entero $n$ mayor o igual a $1$,
$${\sum_{i=1}^{2^n}} \frac{1}{i} \ge 1 +\frac{n}{2}.$$
Ahora sé cómo probar por inducción, pero no no esta $p(1)$ desde
¿% #% $ #% no es cierto?
Compruebe el límite superior de la sumatoria;
Si $n = 1$, luego tenemos
$$\sum_{i=1}^2 \frac1i = 1 + \frac12 \geq 1 + \frac12$$
que es sin duda cierto.
Dada la discusión en los comentarios, puedo ampliar mi respuesta para incluir la inducción de la prueba en lo que me gustaría hacer:
(PRUEBA POR INDUCCIÓN:)
Ya tenemos la base de caso por $n = 1$; Asumir que es cierto al $k$. Nos muestran es cierto para $k + 1$.
La suma se convierte en
$$\sum_{i=1}^{2^{k+1}} \frac1i = \sum_{i=1}^{2^k} \frac1i + \sum_{i=2^k+1}^{2^{k+1}} \frac1i \geq 1 + \frac{k}{2} + \sum_{i=2^k+1}^{2^{k+1}} \frac1i$$
que tiene debido a la inducción de paso. Queremos comprobar si
$$1 + \frac{k}{2} + \sum_{i=2^k+1}^{2^{k+1}} \frac1k \geq 1 + \frac{k+1}{2} = 1 + \frac{k}{2} + \frac12$$
esto es suficiente para mostrar que
$$\sum_{i=2^k+1}^{2^{k+1}} \frac1i \geq \frac12$$
que es, de hecho, la verdadera. Observe que cada término de la serie es mayor que, o igual a, $\frac1{2^{k+1}}$:
$$\sum_{i=2^k+1}^{2^{k+1}} \frac1i \geq \sum_{i=2^k+1}^{2^{k+1}} \frac1{2^{k+1}} = 2^k\cdot \frac1{2^{k+1}} = \frac12$$
lo que concluye la prueba.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
