Vamos a denotar su respuesta por $\psi$.
Que hacer con la serie, vamos a calcular la probabilidad de que usted gana en su $n^{th}$ turno. En orden para que esto suceda, usted y su oponente debe perder de $n-1$ veces. La probabilidad de que esto ocurra es $(1-p)^{n-1}(1-q)^{n-1}$. Después de que, en realidad debe de puntuación, lo que ocurre con probabilidad de $p$. Por lo tanto la probabilidad de que usted gana en el $n^{th}$ juicio es $$\psi_n=(1-p)^{n-1}(1-q)^{n-1}p$$ It follows that the probability that you win eventually is the sum of these, hence $$\sum_{n=1}^{\infty}\psi_n=\sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n-1}(1-q)^{n-1}p=p \sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n-1}(1-q)^{n-1}=p\sum_{n=0}^{\infty}(1-p)^{n}(1-q)^{n}$$ But this is just a geometric series, which we can sum to get $$\psi=\frac p{1-(1-p)(1-q)}=\frac p{p+q-pq}$$
Comprobaciones de validez: Como la fórmula no es precisamente intuitivo, es vale la pena pensar en algunos casos especiales. Si, por ejemplo, $p=1$, esto le da a $\psi=1$ como debería. También, si $q=0$, esto indica correctamente $\psi=1$ (ignorando la desesperada caso en que ambos $p$$q$$0$). Si $p=\frac 12 = q$ obtenemos $\psi=\frac {\frac 12}{\frac 12+\frac 12-\frac 14}=\frac 23$ que pueda ser reconocida como la respuesta a la pregunta "si dos personas alternativo lanzamientos de una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que el primer jugador obtiene el primer lugar en $H$", así que de nuevo la fórmula sostiene.
