¿Intersección de un afín con cerrado abierto = abierto afín?

Question

Deje $X$ ser un esquema, $U\subseteq X$ abierto afín y $Y$ cerrado subscheme de $X$. Es cierto que $Y\cap U$ es un abierto afín subscheme de $Y$?

Para ser más precisos, se han abierto inmersión $U\to X$ y un cerrado imersion $Y\to X$, por lo que podemos formar el producto de fibra de $U\times _X Y$ a que llamamos $U\cap Y$ y la inducida por morfismos $U\cap Y\to Y$ es una inmersión así. Ahora, con la suposición de que $U$ es un esquema afín, nos podemos preguntar si $U\cap Y$ es un esquema afín. La pregunta es, ¿es siempre el caso? es que con algunas suposiciones adicionales? hay una simple comprobable contraejemplo?

Answer 1

En Prof Elencwajg la sugerencia, he aquí una respuesta. Cualquier cerrada subscheme de un esquema afín es afín, ver Corolario 5.10, p. 116 de Hartshorne. En su pregunta, $U=Spec(R)~~$ es afín y $Y \cap U$ es un cerrado subscheme de $U$, por lo tanto afín.

Voy a esbozar una prueba de esta afirmación. La gavilla de los ideales de la $\mathcal I$ $\mathcal O_U$ que define a $Y \cap U$ es de la forma $\widetilde{I}$ algunos $R$-ideal $I$, ya que hay una equivalencia de categorías entre la categoría de $R$-y módulos de la categoría de cuasi coherente gavillas de $\mathcal O_U$-módulos. (Ver Corolario 5.5, Hartshorne.) A continuación, se deduce que el $Y \cap U = Spec(R/I)$.