Matrices de Orthornomal

Question

Hay una razón más directa para los siguientes:

Si las columnas de la matriz cuadrada de $n\times n$ son ortonormales, entonces sus filas también son orthonormal.

La prueba estándar consiste en mostrar que inversa de una matriz es igual a la inversa derecha y así concluir eso si $Q^TQ = I$, entonces el $QQ^T = I$. Esto parece más una manipulación algebraica. ¿Alguien me puede ofrecer una visión geométrica?

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Gracias

Answer 1

Esto no es realmente un insight geométrico, pero al menos es una prueba en el vector de nivel.

Deje $v_1,\ldots,v_n$ ser las columnas de a $Q$, e $w_1,\ldots,w_n$ sus filas. Vamos también a $e_1,\ldots,e_n$ ser la base canónica. Entonces tenemos $$ v_j=Qe_j,\ \ w_j=Q^Te_j,\ \ \ j=1,\ldots,n. $$ Y, para todos los $j,k$, $$ \langle v_j,e_k\rangle = \langle Qe_j,e_k\rangle=\langle e_j,Q^Te_k\rangle=\langle e_j,w_k\rangle. $$ Tenga en cuenta que para cualquier $x,y$ tenemos, con que $(e_j)$ es una base ortonormales, $$ \langle x,y\rangle = \sum_{s,t}\langle x,e_s\rangle\langle y,e_t\rangle\langle e_s,e_t\rangle = \sum_t\langle x,e_t\rangle\langle y,e_t\rangle. $$ A continuación vamos a utilizar esta igualdad la primera base para la $(e_j)$ y, a continuación, para la base $(v_j)$. Entonces $$ \langle w_j,w_k\rangle=\sum_t\langle w_j,e_t\rangle \langle w_k,e_t\rangle =\sum_t\langle e_j,v_t\rangle\langle e_k,v_t\rangle=\langle e_j,e_k\rangle, $$ mostrando que $w_1,\ldots,w_n$ es ortonormales.

Answer 2

Si $Q$ es ortonormales, su transpuesta es su inversa, y viceversa. Entender esto es clave para su pregunta. Usted está pidiendo una geométricas comprensión de este, en lugar de un álgebra simbólica comprensión. Así que vamos a dar que un intento.

Debido a que las columnas son ortonormales, entonces, ¿cuál es $Q^T$ $i$ésima columna de a $Q$? Si usted está en el hábito de ver la multiplicación de la matriz con un vector como una secuencia de productos de puntos de filas con que el vector (que refleja el grado al que el vector es paralelo a cada una de las filas), a continuación, puede ver que $Q^T$ es el $i$ésima columna a de la $i$th estándar de la base de vectores.

Pero entonces, ¿cuál es $Q$ $i$th estándar de la base de vectores? De nuevo, si usted ve la multiplicación de la matriz con un vector como una secuencia de productos de puntos, entonces usted ver que $Q$ que se aplica a la $i$th estándar de la base de vectores de captura de la proyección de cada una de las $Q$'s filas en el $i$th estándar de la base de vectores, produciendo $Q$'s $i$ésima columna.

Hemos establecido que la $Q$$Q^T$, como acciones en los vectores de cambiar el conjunto de columnas de a $Q$ con el conjunto de vectores de la base. De modo inverso de acciones.