$f(X^p)$ irreducible o energía del th $p$ si $f$ irreductible

Question

Un ejercicio de Bourbaki:

Deje $K$ ser un campo de característica $p>0$ $f$ irreductible monic polinomio de $K[X]$. Muestran que, en $K[X]$ el polinomio $f(X^p)$ es irreducible o $p$la potencia de un polinomio irreducible, en función de si existe o no un coeficiente de $f$ no pertenecientes a $K^p$.

La sugerencia dada es descomponer $f(X^p)$ en factores lineales en una clausura algebraica de K.

Hasta ahora he hecho esto: me tome $\theta$ a raíz de $f(X^p)$. Teniendo en cuenta la subextions $K(\theta ^p)/K$$K(\theta)/K$, podemos ver que $f$ es irreducible si el grado de $K(\theta ^p)/K(\theta)$$p$$K(\theta^p)$, iff $K(\theta)=K(\theta^p)$.

Answer 1

Yo no logran dar una prueba de la consideración de aquellos campo de las extensiones, así que espero que no me importa si mi sugerencia para una prueba utiliza otro método:

Deje $f(x) = (x-\theta_1)\dots(x-\theta_n)$ en una clausura algebraica $\overline K$$K$.

Deje $\lambda_i$ ser el único elemento de $\overline K$$\lambda_i ^p=\theta_i$. A continuación, $$f(x^p) = (x^p-\theta_1) \dots (x^p-\theta_n) =(x^p-\lambda_1^p) \dots (x^p-\lambda_n^p) = (x-\lambda_1)^p \dots (x-\theta_n)^p=\Big ((x-\lambda_1) \dots (x-\lambda_n) \Big )^p.$$ Ahora vamos a $(x-\lambda_1) \dots (x-\lambda_n) = x^n+a_nx^{n-1}+...+a_0 \in \overline K[X]$, entonces nos encontramos con la $$f(x^p) = (x^n)^{p}+a_n^p(x^{n-1})^p+...+a_0^p.$$ Ahora supongamos que todos los coeficientes de $f(x^p)$ ya están en $K^p$, entonces todos los $a_i$ $K$ e lo $g = (x-\lambda_1) \dots (x-\lambda_n)\in K[X].$

Para mostrar que $g$ es irreductible, es suficiente para ver que si $(x-\lambda_1) \dots (x-\lambda_m)$ $m<n$ ya estaba en $K[X]$, entonces sería $(x-\lambda_1^p) \dots (x-\lambda_m^p)=(x-\theta_1) \dots (x-\theta_m)$ lo cual es una contradicción a la irreductibilidad de $f$. Esto completa una dirección de nuestra prueba.

Supongamos que de lo contrario existe un coeficiente de $g$ no pertenecientes a $K^p$. Nos muestran, que $f(x^p)$ es irreductible:

Supongamos que no es el caso. Sabemos, que $f(x^p)$ no es de la forma $g^p$. Sin embargo, los factores de $f(x^p) = g^p \cdot h^p$ entre los no-trivial $g^p,h^p \in K[X]$ ser $p$-th poderes también, porque no debe compartir raíces en $\overline K$. Por lo $g,h$ son de la forma$g'(x^p),h'(x^p)$$g',h' \in K[X]$, mostrando el $g'(x)\cdot h'(x)=f(x)$, una contradicción a la irreductibilidad de $f$.