¿Determinar si el siguiente es un orden parcial y si es así, es un orden total?

Question

Estoy teniendo problemas para averiguar cómo puedo solucionar esto... Nunca he sido buena con pruebas formales.

$$(\mathbb{R},\preceq), a\preceq b\iff a^{2}\leq b^{2}$$

Puedo ver fácilmente que es reflexiva: $\forall a\in\mathbb{R}, a^{2}\leq a^{2}$

No sé cómo probar adecuadamente que es transitiva y simétrica la aunque. Han atrapado aquí...

\begin{align} a\preceq b,\ b\preceq c&\Rightarrow a^{2}\leq b^{2},\ b^{2}\leq c^{2}\\ &\Rightarrow a^2+b^2\leq b^2+c^2 \end {Alinee el}

Y luego el simétrico:

\begin{align} a^2\leq b^2\wedge b^2\leq a^2&\Rightarrow a^2=b^2 ?? \end {Alinee el}

¿Alguien me puede dar cualquier punteros sobre cómo enfocar demostrando estas cosas? Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Si usted se atascara podría ser el momento para buscar un ejemplo contable. ¿Qué puede decir sobre el caso donde $a=-b$?

Answer 2

Para la propiedad antisimétrica: su afirmación de que el problema no es del todo correcto: es necesario comprobar si, si $a^2 \leq b^2\; \land \; b^2 \leq a^2$, ¿esto implica $\bf a = b$.

(Recordar, cualquier relación $\sim$ es antisimétrica en un conjunto $A$ si y sólo si, para todos los $a, b \in A$ SI $a\sim b$$b\sim a$,$\bf{a = b}$. En este caso, $a \sim b$ significa $a^2 \leq b^2$, $b\sim a$ significa $b^2 \leq a^2$, e $\bf{a = b}$ significa exactamente, $\bf{a = b}$.)

Asaf se sugiere considerar la posibilidad de un contraejemplo que muestre antisymmetry, por ejemplo, se produce un error:

Específicamente, él le preguntó a considerar $a = -b$, y por una buena razón:

Supongamos que tenemos que $a = -b$. Si la relación antisimétrica, entonces $a^2 \leq (-b)^2 = b^2 $ $(-b)^2 = b^2 \leq a^2$ sería entonces, implican $a = b $. Pero esto contradice nuestra suposición de que la $a = -b$. Por tanto, la relación no puede ser antisimétrica.

Answer 3

Puesto que utiliza $\leq$ $\mathbb{R}$ (es decir, los números verdaderos), consigues $a^{2} \leq b^{2} \wedge b^{2} \leq c^{2} \Rightarrow a^{2}\leq c^{2}$ y $a^2 \leq b^2 \wedge b^2 \leq a^2 \Rightarrow a^2=b^2$ para libre. Puede verlo más claramente si incluyen los cuantificadores correctos en sus pruebas. Por ejemplo, para probar transtivity

$$\forall a, b \in \mathbb{R}, a \preceq b \Rightarrow a^{2} \leq b^{2} \wedge b^{2} \leq c^{2} \Rightarrow a^{2}\leq c^{2}$$