Métrica que derivan del campo de matanza.

Question

Campos de la matanza del hallazgo de la métrica en un múltiple de Riemannian es un procedimiento estándar escrito en muchos libros relevantes. Mi pregunta es al revés: ¿Cómo puedo encontrar una métrica de un colector cuyos campos de la matanza se conocen?

Answer 1

Usted no puede. La razón más sencilla es la de que "la mayoría" de las métricas (en el sentido de que pueden ser hechos precisos) no tienen campos de muerte en todo, porque a los campos de muerte corresponden a uno de los grupos de parámetros de isometrías, al menos en el caso compacto. Por ejemplo, puede empezar con cualquier métrica, incluso uno que tiene un montón de campos de Matanza como la ronda de métrica en la $\mathbb S^n$, y perturbar ligeramente por poner "baches" en un número finito de lugares, de modo que no tiene isometrías.

Incluso para métricas con un montón de campos de muerte, los campos de la muerte no determinar la métrica. Cualquier constante múltiples de la métrica Euclidiana en $\mathbb R^n$ tendrá los mismos campos de Matanza como la métrica Euclidiana.

Si desea un ejemplo de métricas que difieren por más que sólo una constante múltiples, pero todavía tienen un montón de campos de muerte, considerar el Berger métricas en $SU(2)$ (que es diffeomorphic a $\mathbb S^3$). Para la construcción de estas, vamos a $X,Y,Z$ ser una base para la Mentira álgebra de $SU(2)$ satisfactorio $[X, Y] = 2Z$, $[Y, Z] = 2X$, y $[Z, X] = 2Y$, y para cada número real positivo $a$ definir a la izquierda-invariantes métricos $g_a$ declarando $\{X,Y,aZ\}$ mundial ortonormales marco. Mientras $a\ne 1$, todos estos metics tienen los mismos campos de muerte; pero tienen muy diferentes propiedades geométricas.

En los casos con un montón de campos de muerte, hay un par de cosas que se puede decir. Primero de todo, si la acción del grupo sobre el $M$ generado por los campos de la muerte es transitiva (lo que significa que usted puede obtener a partir de cualquier punto a cualquier otro punto por el que fluye a lo largo de un número finito de las trayectorias de los campos de la muerte), entonces la métrica se determina globalmente previstos usted sabe que en un punto. Pero esto permite que muchos parámetros diferentes, como en el caso de las Berger métricas.

En el caso extremo, si el espacio de los campos de muerte en un conectada $n$-colector tiene dimensión $n(n+1)/2$ (el máximo posible de la dimensión), entonces la métrica es, de hecho, determina hasta un constante múltiples, y $(M,g)$ debe ser un cociente de una constante de la curvatura del espacio (espacio Euclidiano, una esfera o espacio hiperbólico) por un discreto grupo de isometrías.

Para los campos de la muerte que generan transitiva grupos de isometrías, esta cuestión está estrechamente relacionada con Klein programa de Erlangen, que se ocupa de describir homogénea geometrías en términos de su isometría grupos. Si usted sabe la Mentira algebra de campos de muerte, entonces usted sabe que el grupo de isometría (al menos en el componente conectado de la misma, hasta una posible cociente por un subgrupo finito). No es lo mismo como el conocimiento de las métricas, pero te da un montón de información acerca de las propiedades de métrica.