Deje que tres no-constante polynomails $P(x),Q(x),R(x)\in \mathbb Z[x]$,y si esta ecuación $P(x)Q(x)R(x)=2015$ $49$ distrinct entero raíces.
Demostrar que $$\deg{P(x)}\cdot \deg{Q(x)}\cdot \deg{R(x)}\ge 656$$
Respuesta
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Así, la composición de todos los comentarios juntos:
Deje $x_i, i=1..49$ ser distinto entero raíces.
$x_i \in \mathbb Z$ ; $P(x),Q(x),R(x)\in \mathbb Z[x] \Rightarrow P(x_i),Q(x_i),R(x_i)\in \mathbb Z$ para todos los $i$.
Desde $2015 = 5 \cdot 13 \cdot 31$ tenemos para todos los $i$ que $P(x_i) \in S:=\{ \pm 1,\pm 5,\pm 13, \pm 31, \pm 65, \pm 155, \pm 403,\pm 2015 \}$. Tenga en cuenta que $|S|= 16$.
Deje $k =deg(P)>0$. Sabemos que para cada una de las $s$ no existen más de $k$ distintos números de $x$ tales $P(x)=s$. Así que no hay más de $16k$ distintos números de $x$ tal que $P(x) \in S$. Luego tenemos a $16k \geq 49 \Rightarrow deg(P) = k \geq 4$ desde $k$ es un entero. Mismo podemos decir para$deg(Q)$$deg(R)$.
Además contamos $deg(P)+deg(Q)+deg(R) \geq 49$ ya que hay al menos 49 raíces (algunas raíces pueden ser múltiples raíces).
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Terminamos con el problema de optimización:
encontrar$min(x \cdot y \cdot z)$$ x,y,z \geq 4$$x+y+z \geq 49 $$x,y,z \in \mathbb Z$.
La solución de este problema simple dice que $min(x \cdot y \cdot z) = 656 $ (y se dio cuenta de $(x,y,z) = (4,4,41)$ y permutaciones).
Todo esto derivaciones están contenidas en los comentarios pero en forma implícita es por eso que he publicado una respuesta explícita. Si desea upvote, por favor, hazlo en los comentarios.
