Valor máximo de la expresión trigonométrica

Question

¿Cuál es el método general para hallar el valor máximo y mínimo de una expresión trigonométrica sin utilizar una calculadora? Por ejemplo, dada la expresión :

$$\sin(3x) + 2 \cos(3x) \text{ where } - \infty < x < \infty$$

¿Cómo se encontrarían los valores máximos y mínimos alcanzados en funciones como éstas y otras con más de dos funciones trigonométricas?

Answer 1

$$f(x) = \sin{(3 x)} + 2 \cos{(3 x)}$$

$$f'(x) = 3 \cos{(3 x)} - 6 \sin{(3 x)}$$

Establecer $f'(x)$ igual a cero para máximos o mínimos.

$$f'(x) = 0 \implies 3 \cos{(3 x)} - 6 \sin{(3 x)} = 0$$

o

$$\tan{(3 x)} = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{3} \arctan{\left ( \frac{1}{2} \right )} + \frac{k \pi}{3}$$

donde $k \in \mathbb{Z}$ . Determinar si máximo o mínimo utilizando $f''(x)$ :

$$f''(x) = -9 \sin{(3 x)} - 18 \cos{(3 x)} \implies f''{\left [ \frac{1}{3} \arctan{\left ( \frac{1}{2} \right )} \right ]} = -\frac{9}{\sqrt{5}} - \frac{36}{\sqrt{5}}<0$$

para que este punto sea un máximo.

Por otro lado,

$$f''{\left [ \frac{1}{3} \arctan{\left ( \frac{1}{2} \right )+ \pi } \right ]} = \frac{9}{\sqrt{5}} + \frac{36}{\sqrt{5}}>0$$

por lo que este punto es un mínimo.

Answer 2

Pista: Consideremos un ángulo con tangente $2$ y utilice adición teorema de los senos y cosenos.

Answer 3

Escriba a $\sin(3x) + 2\cos(3x) = \sqrt{5}(1/\sqrt{5}\sin(3x) + 2/\sqrt{5}\sin(2x))$ Puedes utilizar las identidades de suma para obtener el resto.

Respondo a la pregunta. Hay una $\theta$ para que $\cos(\theta) = 1/\sqrt{5}$ y así $\sin(\theta) = 2/\sqrt{5}$ . Use eso $\theta$ ; en este caso es $\sin^{-1}(2/\sqrt{5})$ .