probar: si $G$ es un grupo finito de orden $n$ $p$ es el primo más pequeño dividiendo $|G|$ y cualquier subgrupo de índice $p$ es normal

Question

Probar:

Si $G$ es un grupo finito de orden $n$ $p$ es el más pequeño de primer dividiendo $|G|$, entonces cualquier subgrupo de índice $p$ es normal donde $|G|$ es el orden de $G$

Este es un resultado en Álgebra Abstracta por Dummit y Foote en la página 120 .

La prueba que se produce, sino que hay algunos puntos que no obivous para mí !

En primer lugar, en la página 121 en la prueba, dice, todos los divisores de a $(p-1)!$ son de menos de $p$. por qué esto es cierto ? ¿puede alguien explicar?

Segundo, ¿por qué "cada divisor primo de $k$ es mayor que o igual a $p$ "la fuerza que k=1 ??

¿Por qué $k = 1$ bajo esta condición??

En tercer lugar, si $k=1$ A continuación, el orden de $K$ = el orden de $H$
Por qué esto no significa que $K=H$ en este caso??

Puede usted ayudar en la explicación de estas tres cosas?

Answer 1

Para la segunda pregunta, observe que en la prueba de $[H:K]=k$, lo $k\mid |H|\mid |G|$ desde $H\leq G$. Por lo que cualquier divisor primo de $k$ también es un divisor de a $|G|$. Pero cada divisor primo de $k$ divide $(p-1)!$, por lo tanto es menos de $p$. Desde $p$ es el menos el primer división $|G|$, $k$ no puede tener ningún primos divisores, de lo contrario tendríamos un divisor primo de $|G|$ estrictamente menor que $p$. Pero el único entero positivo sin factores primos es $1$, lo $k=1$.

Pero, a continuación,$[H:K]=1$, y desde $H$ $K$ son grupos finitos, que significa $|H|=|K|$, por lo que, necesariamente,$H=K$.

Agregado: Para la primera pregunta, cabe recordar que la si $q$ es un número primo, y $q\mid ab$, entonces cualquiera de las $q\mid a$ o $q\mid b$. Este es Euclides del Lexema. Así que si $q$ es un primer factor de $(p-1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdots p-1$, debemos tener $q\mid j$ algunos $j=1,2,\dots,p-1$. Así que, necesariamente,$q<p$.

Si usted no está familiarizado con la propiedad de los números primos, otra forma de ver esto es observar que la factorización prima de $(p-1)!$ es el producto del primer factorizations de $1,2,\dots,p-1$. Pero para cada una de las $1\leq j\leq p-1$, la descomposición en factores primos de a $j$ no debe tener factores primos mayor o igual a $p$. Por lo que la factorización prima de $(p-1)!$ se compone sólo de números primos menos de $p$.

Answer 2

Podemos utilizar el Teorema de Cayley para mostrar que:

Teorema: Deja que el grupo $G$ tiene el subgrupo $H$ de índice de $n$, entonces no es normal que un subgrupo de $K$ $G$ tal que $$K\subseteq H,~~ m=[G:K]<\infty,~~m\mid n!$$

Ahora vamos a $H\leq G$ $[G:H]=p$ $p$ tiene la propiedad de la cuestión, señaló. De acuerdo con el teorema anterior existe un subgrupo normal $K$ $G$ $H$ tal que $[G:K]\big|p!$. Pero $[G:H]\big ||G|$ también, así que desde $p$ es el más pequeño de dividir el número, a continuación, tenemos necesariamente han $$[G:K]\big|p$$ and this means thta $K=H$.

Answer 3

Considere el primer factorizaciones de $p-1, p-2,$ etc. hasta $1$. Ninguno de estos puede ser divisible por $p$ porque, como $p$ es un primer, el menor número divisible por $p$ $p$. Así que ya no $p$ dividir cualquiera de esos números, no divide su producto, es decir, $p\not\mid (p-1)!$. Lo mismo pasa con todos los primos $q$ mayor de $p$, tenemos que $q\not\mid p-1$, $q\not\mid p-2$, etc. y así $q\not \mid (p-1)!$. Así que cada divisor principal de $(p-1)!$ es menor que $p$.