Listas de los juegos como objetos de los axiomas ZF

Question

Tengo una pregunta ingenua acerca de los fundamentos de las matemáticas. Una opinión común de la mayoría de los matemáticos es que la parte esencial de la matemática puede ser reducido a ZF(C) los axiomas. No acabo de entender uno de los pasos básicos de esta reducción. Cómo definir rigurosamente un concepto intuitivo de "una secuencia finita de longitud arbitraria que consiste arbitraria de conjuntos", en otras palabras, un concepto de una secuencia $X_1,X_2,\dots X_n$ donde todos los $X_k$ son arbitrarias de conjuntos. Una dificultad es que generalmente una secuencia finita $y_1,\dots y_n$ (es decir, una lista) se define como una función del segmento de $\{1,\dots n\}$ a algunos de $Y$ (es decir, como una secuencia de elementos de un conjunto), pero si queremos lidiar con la arbitraria de conjuntos de $X_k$ no tenemos un priorato un conjunto de $Y$.

Más específicamente, es posible formular la siguiente intuitiva del teorema como una sola fórmula de ZF: "para cualquier secuencia finita de conjuntos contables $X_1,\dots X_n$, su unión es contable" o un teorema puede ser realizado en ZF sólo como una especie de teorema del esquema?

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Editado después de recibir la primera respuesta: Gracias a todos por las explicaciones! Entiendo que ahora todo depende de la definición de una función que se utiliza. El problema que se describe en la pregunta aparece si se utiliza la definición tradicional de una función como una relación binaria tener propiedad funcional (como se presenta, por ejemplo, en Wikipedia en inglés) debido a que el dominio y el codominio debe existir como conjuntos antes de obtener una función de acuerdo a esta definición. Pero si usamos otra definición de una función como un conjunto arbitrario de los pares ordenados que satisface la propiedad funcional (ver el comentario de Max), no hay ningún problema!

Answer 1

Seguro, totalmente posible, aunque no necesariamente será bastante si quieres estar completamente en el lenguaje de la $\mathsf{ZF}$ (ha hacer una fórmula de decir que algo es una función, especificando el dominio y el codominio de una función, de decir que algo es una unión de un conjunto dado, de $\omega$, y de decir que algo es contable). Nada es particularmente difícil, sólo el tiempo.

Deje $\mathrm{natural}(x)$ significa que $x$ es un número natural, $\mathrm{func}(f)$ significa que $f$ es una función (de algún dominio en algunos codominio), $\mathrm{dom}(f,x)$ significa que $f$ es una función y su dominio es $x$, $\mathrm{im}(f,y)$ significa que $f$ es una función y su imagen (rango) es $y$, $\mathrm{union}(X,x)$ significa que $x$ es la unión de la familia de los conjuntos de $X$, e $\mathrm{countable}(x)$ significa que $x$ es contable. Todas estas cosas son perfectamente definibles (una vez que usted decide cómo desea definir una función, digamos como un ordenado-triplete).

Luego hay un par de maneras diferentes que usted puede expresar lo que desea. Un enfoque, es decir, "Para cada número natural $n$, cada secuencia finita de longitud $n$ cuyos elementos son contables tiene la unión de su imagen contables". Asumiré que significa "countably-infinito" por "contables", pero si usted acaba de decir "finito o countably-infinito", la frase sigue siendo la misma:

$$\forall n (\mathrm{natural}(n) \rightarrow \forall f \forall X \Bigl( \bigl( \mathrm{dom}(f,n) \wedge \mathrm{im}(f,X) \wedge \forall x (x\in X\rightarrow \mathrm{countable}(x))\bigr) \rightarrow \forall y (\mathrm{union}(X,y) \rightarrow \mathrm{countable}(y) )\Bigr) )$$

Ahora, me afirmó que cada uno de la fórmula $\mathrm{natural}$, $\mathrm{func}$, $\mathrm{dom}$, $\mathrm{im}$, $\mathrm{countable}$, y $\mathrm{union}$ puede expresarse completamente en el lenguaje de la $\mathsf{ZF}$. Realmente todo esto equivale a sólo escribir las definiciones de estas cosas en los símbolos, y no es difícil (aunque puede ser un poco mucho tiempo). Como un ejemplo, considere el $\mathrm{natural}$. Aquí estamos usando la de Von Neumann definición de los números naturales, por lo que el conjunto de todos los números naturales $\omega$ es la intersección de todos los conjuntos inductivos. Definir $\mathrm{inductive}(I)$ a de pie para $$\exists x (\forall y (\neg y\in x) \wedge x\in I) \wedge \forall y (y\in I\rightarrow \exists z (z\in I \wedge \forall w (w\in z\rightarrow (w\in y) \vee (w=y))))$$ (es decir, se dice que el $I$ es un conjunto inductivo). Entonces podemos definir a $\mathrm{omega}(X)$ significa que el "$X$ es el conjunto de los números naturales" por $$\forall x (x\in X\leftrightarrow \forall I (\mathrm{inductive}(I) \rightarrow (x\in I))$$ y, finalmente, $\mathrm{natural}(n)$ puede ser expresada por $$\forall X( \mathrm{omega}(X) \wedge n\in X)$$

Answer 2

Eso no es un problema. Es cierto que no hay ningún conjunto de "todas las secuencias finitas de conjuntos contables". Pero este es un teorema.

Si $f$ es una secuencia finita de conjuntos contables, esto significa que $f$ es una función cuyo dominio es algo de $n<\omega$, y para cada una de las $i<n$ tenemos que $f(i)$ es una contables conjunto.

Usando el axioma de reemplazo, $\{f(i)\mid i<n\}$ es un conjunto así, por lo $\bigcup\{f(i)\mid i<n\}$ es de nuevo un conjunto. Y nos dicen que es contable.

Esto no es más que un esquema, que "Todo número par puede ser comprendido como la suma de dos números primos" es un esquema en el lenguaje de primer orden de la aritmética. Y, por supuesto, no es un esquema.

Answer 3

Una forma tradicional de formalizar la noción de "función" en la teoría de conjuntos va como esto:

una función es un conjunto $f$ de los pares ordenados tales que, si $(x,y)\in f$$(x,z)\in f$$y=z$.

Dada esta definición, la expresión `$f(x)$" puede ser explicado para indicar el $y$ tal que $(x,y)\in f$.

Suponiendo que la función de $F$ $f$ formaliza es `total", entonces usted puede extraer de $f$ el dominio de $F$, es decir, como la clase de $x$ tal que $(x,y)\in f$ algunos $y$.

Sin embargo, no hay ninguna manera de recuperar el rango de $F$$f$. Por ejemplo, el objeto

$\{(x,y):x\in\mathbb \omega\land y=0\}$

podría formalizar una función de $F:\mathbb N\to\mathbb N$ o una función de $F:\mathbb N\to \{0,1\}$ o...

Este enfoque para la formalización de las funciones de los patos el problema que usted menciona. Es decir, una asignación de $F$ a partir de los enteros $i< k$ arbitraria de conjuntos de $F(i)$ se convierte en el "tamaño" de la colección de pares $(i,F(i))$$i<k$.

Hay otra forma de pensar de las funciones formalizadas, es decir, como una adecuada clases, pero no sé que es muy útil en la formalización de ordinario las matemáticas.