¿Cuántas soluciones existen para la congruencia $x^{14}+x^7+1 \equiv 0 \; (\text{mod } 343)$?

Question

Tengo otra pregunta para usted:

A cuántas soluciones hace el % de congruencia $x^{14}+x^7+1 \equiv 0 \; (\text{mod } 343)$y calcular por lo menos uno de ellos.

¿Este tipo de ejercicio tiene una forma estándar de proceder? Si es así, ¿cómo harías? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Extendido sugerencias:

Sin duda, usted observa que el $343=7^3$ es una potencia de un extraño prime. Por lo tanto sabemos que el grupo de unidades de $G=\Bbb{Z}_{343}^*$ de el anillo de los residuos clases de $R=\Bbb{Z}_{343}$ es cíclico de orden $\phi(7^3)=(7-1)7^2=294$.

Podemos ver que $x$ no puede ser divisible por siete, para, a continuación, tendríamos $x^{14}+x^7+1\equiv 1\pmod{7}$. Por lo tanto todas las soluciones están en $G$.

Además, $$ x^{14}+x^7+1=\frac{x^{21}-1}{x^7-1}. $$ Si $x^7-1$ fueron divisible por siete (es decir, no en $G$),$x^7\equiv x^{14}\equiv1\pmod7$, lo que significa que $x$ no es una solución. Por lo tanto, en una solución de $x$ los anteriores denominador es invertible en a $R$. También podemos deducir que cualquier solución de la congruencia es también una solución de $x^{21}\equiv1\pmod{343}$. Por lo tanto $x$ es una solución, iff A) $x^{21}\equiv1$ y B) $x^7\not\equiv1$ (ambas congruencias módulo $343$).

Como $21\mid 294$ en el grupo cíclico $G$ hay _____ elementos que satisfacen la ecuación de $x^{21}=1$. Fuera de estos ______ también satisface la ecuación de $x^7=1$, y acabamos de ver que aquellos deben ser descartados. Por lo tanto hay ______ pares no congruentes soluciones (llenar los espacios en blanco).

Propongo la siguiente probabilístico algoritmo para la búsqueda de una solución:

• Cualquier elemento de $G$ satisface la ecuación de $x^{294}=1$. Por lo tanto si $x\in G$ es arbitrario, entonces $r=x^{14}$ satisface la ecuación de $r^{21}\equiv1$, debido a $r^{21}=x^{21\cdot14}=x^{294}$.
• Con cualquier tipo de suerte que el número de $r=x^{14}$ que se produjo en el paso anterior no satisface la ecuación de $r^7\equiv1$. Si eran de mala suerte, y esto hizo pasar, a continuación, inténtelo de nuevo hasta encontrar al menos una solución.

Answer 2

$$x^{14}+x^7+1\equiv0\pmod{7^3}\implies x^{14}+x^7+1\equiv0\pmod{7^2}, x^{14}+x^7+1\equiv0\pmod7$$

Claramente, $(x,7)=1$

$$\implies x^7\equiv x\pmod 7, x^{14}\equiv x^2$$

Así, $$x^{14}+x^7+1\equiv0\pmod7\implies x^2+x+1\equiv0$ $ $$\iff x^2+x-6\equiv0\iff (x+3)(x-2)\equiv0$ $

$$\implies x\equiv2,-3\pmod7$$

Ahora uso el lema de Hensel

Si $\displaystyle f(x)=x^{14}+x^7+1,f'(x)=14x^{13}+7x^6\equiv0\pmod7$

Si $\displaystyle x\equiv2,x=2+7a,x^7=(2+7a)^7=2^7+7(2a)^67+\cdots+(7a)^7\equiv2^7\pmod{49}\equiv30$

$\displaystyle\implies x^{14}\equiv(30)^2\equiv18\pmod{49}$

$\displaystyle\implies f'(2)\not\equiv0\pmod7$

Del mismo modo, $\displaystyle f'(3)\not\equiv0\pmod7$

¿Qué podemos concluir de aquí?