Aquí está mi lista de preferidas de los axiomas, las cuales están escritas en el lenguaje de la $\in$, e $=$ es un símbolo lógico.
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Extensionality. $\forall x\forall y(x=y\leftrightarrow\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y))$. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.
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De la unión. $\forall x\exists y\forall u(u\in y\leftrightarrow\exists v(v\in x\land u\in v))$. Si $x$ es un conjunto, entonces $\bigcup x$ es un conjunto.
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La regularidad. $\forall x(\exists y(y\in x)\rightarrow\exists y(y\in x\land\forall z(z\in x\rightarrow z\notin y)))$. El $\in$ relación está bien fundada.
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Juego de poder. $\forall x\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow\forall u(u\in z\rightarrow u\in x))$. Si $x$ es un conjunto, entonces $\mathcal P(x)$ es un conjunto.
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La sustitución del esquema. Si $\varphi(x,y,p_1,\ldots,p_n)$ es una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos, entonces: $$\forall p_1\ldots\forall p_n\\ \forall u(\forall x(x\in u\rightarrow(\exists y\varphi(x,y,p_1,\ldots,p_n)\rightarrow\exists y(\varphi(x,y,p_1,\ldots,p_n)\land\forall z(\varphi(x,z,p_1,\ldots,p_n)\rightarrow z=y)))\rightarrow\exists v\forall y(y\in v\leftrightarrow\exists x(x\in u\land\varphi(x,y,p_1,\ldots,p_n))).$$ For every fixed parameters, $p_1,\ldots,p_n$, and for every set $u$, if for every $x\u$ there is at most one $s$ such that $\varphi(x,y,p_1,\ldots,p_n)$, namely the formula, with the fixed parameters, define a partial function on $u$, then there is some $v$, que es exactamente el rango de esta función.
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Infinity. $\exists x(\exists y(y\in x\land\forall z(z\notin y))\land\forall u(u\in x\rightarrow\exists v(v\in x\land\forall w(w\in v\leftrightarrow w\in u\lor w=u))))$. Existen un conjunto de $x$ a que el conjunto vacío como un elemento, y siempre que $y\in x$,$y\cup\{y\}\in x$.
Escribí aquellos puramente en el lenguaje de la $\in$, como se puede ver, para evitar cualquier reclamación que necesito usar $\subseteq$ o $\mathcal P$ o $\bigcup$. Ahora voy a permitir que me estas adición al idioma.
A partir de estos axiomas, podemos fácilmente:
- Probar que existe un conjunto vacío: es el elemento del conjunto garantiza que existe en el infinito de axiomas.
- Demostrar la vinculación axioma: "Por el poder conjunto de axiomas, $\mathcal P(\varnothing)$ existe y su poder establecer $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ también existe. Ahora considere la fórmula $\varphi(x,y,a,b,c,d)$ cuyo contenido es $$(x=a\land y=c)\lor(x=b\land y=d).$$
Dados dos conjuntos, $u,v$ considera la sustitución axioma de $\varphi$ con los parámetros: $\varphi(x,y,\varnothing,\mathcal P(\varnothing),u,v)$, y el dominio de $\mathcal{P(P(\varnothing))}$. A continuación, hay un conjunto que es el rango de la función $\varphi$ define aquí, que es exactamente $\{u,v\}$.
- Especificación de esquema: Supongamos que $\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)$ es una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos, y $A$ es un conjunto de lo que existe. Definir $\psi(x,y,p_1,\ldots,p_n)$$\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)\land x=y$. Fácilmente podemos probar que, dado cualquier elemento de $A$ hay más de un elemento de satisfacciones $\psi(x,y,p_1,\ldots,p_n)$ (con unos parámetros fijos). Y por lo tanto el rango de la función definida es $\{x\in A\mid\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)\}$ como quería.
Y así sucesivamente y así sucesivamente. La elección de axiomatization generalmente no importa. Pero no importa cuando uno tiene que comprobar los axiomas a mano por una u otra razón, entonces podría ser fortuito que explícitamente añadir axiomas o podría ser mejor para mantener su mínimo. Dependiendo de la situación.
También es una pregunta importante ¿qué axiomas de mantener, o complemento, al considerar que el debilitamiento de los $\sf ZF$. Usted puede eliminar de reemplazo, pero añade la especificación, o tal vez la especificación de una clase particular de fórmulas; o puede quitar extensionality y, a continuación, la opción ya sea para el uso de la Sustitución o de la Colección de esquemas de demostrar realmente una gran diferencia; y así sucesivamente.
